Manchete ficticia: um aplicativo de ensino de idiomas registrou crescimento acelerado no número de assinantes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete ficticia: um aplicativo de ensino de idiomas registrou crescimento acelerado no número de assinantes desde o lançamento. Dados internos mostram que, no primeiro mês de operação, havia 20 000 usuários e, a partir daí, o total evoluiu segundo o modelo f(t)=20000·1,15^t, em que t é o número de meses decorridos desde o início. A equipe de analistas deseja saber quando o serviço ultrapassará a marca de 50 000 assinantes para planejar investimentos em infraestrutura. Com base no modelo exponencial apresentado, estime após quantos meses o número de assinantes ultrapassa 50 000.
- A) 9 meses
- B) 7 meses
- C) 5 meses
- D) 6 meses
- E) 8 meses
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Queremos o menor t inteiro tal que 20000 vezes 1,15^t seja maior que 50000. Dividindo os dois lados por 20000, a condição vira 1,15^t maior que 2,5. Passo 2: Calculamos as potências de 1,15 uma a uma. 1,15^2 = 1,3225; 1,15^3 = 1,520875; 1,15^4 = 1,749006; 1,15^5 = 2,011357; 1,15^6 = 2,313061; 1,15^7 = 2,660020. Passo 3: Como 1,15^6 = 2,313 ainda é menor que 2,5, o número de assinantes no mês 6 é cerca de 20000 x 2,313 = 46261, abaixo da marca. Passo 4: Como 1,15^7 = 2,660 é maior que 2,5, no mês 7 o número de assinantes é cerca de 20000 x 2,660 = 53200, que ultrapassa 50000. Conclusão: a marca é ultrapassada após 7 meses, alternativa B, que coincide com o gabarito. Por que as outras estão erradas: A (9 meses) ultrapassa a marca, mas não é o primeiro momento em que isso ocorre. C (5 meses) é cedo demais, pois 1,15^5 = 2,011 ainda dá cerca de 40228 assinantes. D (6 meses) é cedo demais, pois dá cerca de 46261 assinantes, abaixo de 50000. E (8 meses) ultrapassa a marca, mas não é o primeiro mês em que isso acontece.
💡 Dica: Use a fórmula exponencial para encontrar t quando f(t) > 50000.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula a potência e encontra um valor acima da marca, mas não verifica os meses anteriores, tomando um mês posterior ao primeiro em que a marca é ultrapassada como resposta.
Por que engana: O aluno pode confundir o cálculo do tempo t e não aplicar corretamente a desigualdade para encontrar quando f(t) ultrapassa 50000.
Resolve t=ln(50000/20000)/ln(1,15)˜6,55 e considera o menor inteiro para ultrapassar 50 000.
O aluno subestima a taxa de crescimento composto, supondo que 1,15^5 já alcança 2,5 (ou raciocinando de forma linear), e para antes do ponto em que a potência realmente chega a 2,5.
O aluno calcula 1,15^6 perto de 2,31 e arredonda mentalmente para algo próximo de 2,5, concluindo que a marca já foi atingida, quando na verdade ainda falta o mês 7.
O aluno avança até um mês em que o valor já está acima da marca e escolhe esse valor sem checar se o mês anterior também a ultrapassa, confundindo o primeiro instante com um instante qualquer posterior.
Raio-X da questão
crescimento exponencial, função exponencial
avaliacao
função exponencial básica · logaritmos simples
Estude funções exponenciais e resolução de inequações exponenciais.
O aluno pode confundir o cálculo do tempo t e não aplicar corretamente a desigualdade para encontrar quando f(t) ultrapassa 50000.
tomada_decisao
cotidiano
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