Pesquisa de mercado recente revelou que um serviço de streaming musical iniciou suas operações com 50 000…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Pesquisa de mercado recente revelou que um serviço de streaming musical iniciou suas operações com 50 000 assinantes no primeiro mês. Segundo os analistas, a base de usuários cresce 8% a cada mês devido ao boca a boca e às campanhas de redes sociais. Assim, se S(t) representa o número de assinantes após t meses, tem-se S(t)=50 000·(1,08)^t. Os diretores da plataforma desejam projetar quando a base alcançará 100 000 assinantes para planejar a expansão da infraestrutura de servidores. A partir do texto-base, determine em quantos meses o número de assinantes do serviço atingirá 100 000.
- A) Aproximadamente 12 meses
- B) Aproximadamente 9 meses
- C) Aproximadamente 8 meses
- D) Aproximadamente 13 meses
- E) Aproximadamente 6 meses
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A questão pede o valor de t para o qual S(t) = 100 000, com S(t) = 50 000 · (1,08)^t. Passo 2: Dividindo os dois lados por 50 000, obtemos 1,08^t = 2. Passo 3: Aplicando logaritmo dos dois lados, t · ln(1,08) = ln(2), logo t = ln(2) / ln(1,08). Passo 4: Usando ln(2) ≈ 0,6931 e ln(1,08) ≈ 0,07696, temos t ≈ 0,6931 / 0,07696 ≈ 9,0. Passo 5: Conferindo por potências, 1,08^9 ≈ 1,999, o que dá S(9) ≈ 99 950, praticamente 100 000; portanto a resposta é aproximadamente 9 meses. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (12 meses) supõe crescimento linear, e 12 meses seria só o tempo aproximado de 100% de crescimento somando 8% por mês; C (8 meses) ignora que 1,08^8 ≈ 1,85, que ainda fica abaixo de 2; D (13 meses) ultrapassa bastante o ponto de dobra, pois 1,08^13 ≈ 2,72; E (6 meses) subestima muito o efeito composto, pois 1,08^6 ≈ 1,59. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Use a fórmula exponencial e aplique logaritmos para encontrar t.
Alternativa por alternativa
Calculou o crescimento como linear, somando 8% de 50 000 a cada mês (4 000 por mês), e estimou cerca de 12 meses para chegar a 100 000. Ignorou que o crescimento é composto, ou seja, incide sobre a base já crescida.
Usa t=log(2)/log(1,08)=0,6931/0,07696˜9 meses, concordando com a função exponencial dada.
Associou o número de meses ao valor 8 da taxa de crescimento, ou arredondou cedo demais sem verificar que 1,08^8 ≈ 1,85 ainda não atinge o dobro da base.
Usou o crescimento linear e arredondou para cima (12,5 meses), ou aproximou a potência de 1,08 pelo número e, cujo valor elevado a 1 já sugere crescimento exagerado; não resolveu corretamente a equação exponencial.
Acreditou, por intuição, que uma taxa de 8% ao mês dobraria a base em poucos meses, subestimando o efeito dos juros compostos. Não calculou 1,08^t.
Por que engana: Confundir crescimento percentual com crescimento linear ou não aplicar logaritmos corretamente para resolver a equação.
Raio-X da questão
crescimento exponencial, logaritmos
avaliacao
função exponencial · logaritmos
Estude crescimento exponencial e propriedades dos logaritmos.
Confundir crescimento percentual com crescimento linear ou não aplicar logaritmos corretamente para resolver a equação.
tomada_decisao
cotidiano
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