Manchete ficticia: Relatório do Instituto Cultural do Norte aponta avanço significativo na adoção de um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete ficticia: Relatório do Instituto Cultural do Norte aponta avanço significativo na adoção de um aplicativo de leitura digital em comunidades de baixas conexões. Em 2018, 2 000 moradores haviam se cadastrado no serviço. Três anos depois, em 2021, o número de usuários chegou a 16 000. Os gestores do projeto desejam representar matematicamente essa expansão para planejar investimentos futuros. Eles supõem que a evolução do total de cadastros siga um padrão de crescimento exponencial homogêneo, com tempo em anos a partir de 2018. A partir dos dados, elabore a função exponencial U(t) que modela o número de usuários em função do tempo t (anos) e estime o valor de U(5).
- A) U(t)=2000*4^t e U(5)=2048000
- B) U(t)=2000*8^t e U(5)=65536000
- C) U(t)=2000*2^t e U(5)=64000
- D) U(t)=2000*2^(t/3) e U(5)=6349,6
- E) U(t)=2000+4666,67*t e U(5)=25333,35
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a forma geral de uma função exponencial de crescimento: U(t) = U0 * a^t, em que U0 é o valor inicial (t = 0, ano 2018) e a é o fator de crescimento anual. Passo 2: Como em 2018 havia 2000 cadastros, U0 = 2000. Passo 3: Como 2021 corresponde a t = 3 anos (2021 - 2018), temos U(3) = 16000, logo 2000 * a^3 = 16000, ou seja, a^3 = 8, e portanto a = 2. Passo 4: A função é U(t) = 2000 * 2^t. Verificação: U(3) = 2000 * 2^3 = 2000 * 8 = 16000, que confere com os dados. Passo 5: Calculando para t = 5, temos U(5) = 2000 * 2^5 = 2000 * 32 = 64000. Passo 6: A alternativa A está errada porque usa base 4, o que daria U(3) = 128000, incompatível com os dados. A alternativa B está errada porque usa base 8, o que daria U(3) = 1024000. A alternativa D está errada porque usa expoente t/3, o que daria U(3) = 4000, e não 16000. A alternativa E está errada porque é uma função linear, e não exponencial, como exige o enunciado. Conclusão: o gabarito C está correto.
💡 Dica: Use a fórmula do crescimento exponencial e os dados para encontrar a base e calcular U(5).
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou a base 4 por um fator de crescimento, talvez a partir de 2000 para 16000 como razão de quatro vezes em um único passo, sem verificar o expoente correto de 3 anos.
O aluno provavelmente escolheu a base 8 por confundir o número 8 (resultado de 2^3) com o fator anual, aplicando 8^t em vez de 2^t.
Crescimento anual = (16000/2000)^(1/3)=2. Função U(t)=2000*2^t e U(5)=2000*32=64000.
O aluno provavelmente interpretou os 3 anos como divisor do expoente e escreveu 2^(t/3), mantendo a base 2 mas distribuindo o crescimento de forma errada, sem checar U(3).
Por que engana: Confundir crescimento linear com exponencial ou erro no cálculo da base da função.
O aluno provavelmente tratou o crescimento como uma soma constante de cadastros por ano (função linear), o que é um senso comum de crescimento uniforme, e não o crescimento exponencial pedido no enunciado.
Raio-X da questão
função exponencial crescimento
avaliacao
função exponencial básica · potenciação e logaritmos
Estude funções exponenciais e cálculo de potências.
Confundir crescimento linear com exponencial ou erro no cálculo da base da função.
tomada_decisao
cotidiano
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