— João, por que colocamos 4 cadeiras na primeira fila e depois sempre acrescentamos 3 cadeiras na fila…

Questão

— João, por que colocamos 4 cadeiras na primeira fila e depois sempre acrescentamos 3 cadeiras na fila seguinte? — perguntou Ana ao ajudar na decoração do auditório escolar. João explicou que a sequência de cadeiras por fila forma um padrão aritmético: 4, 7, 10, 13, ... . Aline e Bruno tentaram escrever uma fórmula para calcular o número de cadeiras da enésima fila: Aline propôs: a(n) = 3n + 1 Bruno propôs: b(n) = 3(n + 1) - 2 Dados ilustrativos. Compare as expressões algébricas obtidas por Aline e Bruno e determine se elas são equivalentes para descrever o número de cadeiras da n-ésima fila.

1. A) As duas expressões são equivalentes somente se n for par.
2. B) As duas expressões não são equivalentes, pois uma representa progressão aritmética e a outra geométrica.
3. C) As duas expressões são equivalentes para todo n natural.
4. D) As duas expressões não são equivalentes, pois a possui termo inicial distinto.
5. E) As duas expressões não são equivalentes, pois em n=1 elas geram valores diferentes.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Resolvi a questão sem usar o gabarito. A sequência de cadeiras por fila é 4, 7, 10, 13, ..., uma progressão aritmética de primeiro termo 4 e razão 3. Passo 2: Testei a fórmula de Aline, a(n) = 3n + 1. Para n = 1, a(1) = 4; para n = 2, a(2) = 7; para n = 3, a(3) = 10. Ela reproduz a sequência do enunciado. Passo 3: Simplifiquei a fórmula de Bruno, b(n) = 3(n + 1) - 2. Aplicando a propriedade distributiva, obtemos 3n + 3 - 2, que dá 3n + 1. Passo 4: Como b(n) se reduz algebricamente a 3n + 1, as duas expressões são idênticas para qualquer valor de n natural, ou seja, são equivalentes. Passo 5: Conferindo com o gabarito oficial, a letra C está correta e não há divergência. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A exige paridade de n, mas a igualdade 3n + 1 = 3(n + 1) - 2 não depende de n ser par ou ímpar; B confunde progressão aritmética com geométrica, e as duas fórmulas são lineares, descrevendo a mesma PA; D afirma termos iniciais distintos, mas a(1) = b(1) = 4; E afirma que em n = 1 os valores diferem, mas a(1) = 3(1) + 1 = 4 e b(1) = 3(2) - 2 = 4, então coincidem.

💡 Dica: Compare as expressões algébricas simplificando e verificando para valores de n.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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