Após recortarem chapas metálicas de 80 cm de largura para construir calhas industriais, os soldadores dobram…

Questão

Após recortarem chapas metálicas de 80 cm de largura para construir calhas industriais, os soldadores dobram as bordas laterais para formar um canal com seção retangular. A altura das abas dobradas é x centímetros, e a largura interna do canal fica então de (80–2x) centímetros. O engenheiro calcula que a área da seção transversal A(x) em cm² é dada por A(x)=x·(80–2x). Analise o texto-base e determine para que valor de x a área A(x) atinge seu máximo.

1. A) 10 cm
2. B) 30 cm
3. C) 20 cm
4. D) 15 cm
5. E) 25 cm

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. A função é A(x) = x·(80 – 2x) = 80x – 2x^2. Trata-se de uma função quadrática com coeficiente a = -2 (negativo), cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, que é o vértice.
2. A abscissa do vértice é dada por x_v = -b/(2a). Aqui b = 80 e a = -2, então x_v = -80/(2·(-2)) = -80/(-4) = 20.
3. Conferindo o valor da área máxima: A(20) = 20·(80 – 40) = 20·40 = 800 cm². Como a parábola abre para baixo, esse valor é realmente o máximo, e não um mínimo.
4. Verificando por outro caminho, a derivada A'(x) = 80 – 4x se anula quando x = 20, confirmando o resultado.
5. Conclusão: a área é máxima para x = 20 cm, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas: a alternativa A (10 cm) é a metade do valor correto e não corresponde ao vértice da parábola; a alternativa B (30 cm) é o valor de x que faz a largura interna 80 – 2x igualar a 20 cm, o que confunde a variável x com a largura do canal; a alternativa D (15 cm) não é o vértice, pois o cálculo correto de -b/(2a) não produz esse valor; a alternativa E (25 cm) corresponderia a uma aproximação do caso em que as dimensões ficam iguais, o que não é a condição de máximo desta função.

💡 Dica: Use derivada para encontrar o máximo da função A(x).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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