Pesquisas em ambientes industriais registram que, a 1 metro de distância, uma serra elétrica opera com nível…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Pesquisas em ambientes industriais registram que, a 1 metro de distância, uma serra elétrica opera com nível sonoro de 95 dB. Experimentos indicam que, para d > 1 m, o nível L(d), em decibéis, é dado por L(d) = 95 - 20·log10(d). Normas de segurança determinam que, sem proteção auditiva, o ruído ambiente deve permanecer abaixo de 80 dB. Para facilitar a instalação de uma barreira de isolamento, a distância será medida em metros inteiros. Com base no texto, qual é a menor distância inteira, em metros, que deve separar uma pessoa da serra elétrica para que o nível de ruído fique abaixo de 80 dB?
- A) 10 m
- B) 6 m
- C) 7 m
- D) 4 m
- E) 5 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Queremos que L(d) < 80, com L(d) = 95 - 20·log10(d). Substituindo: 95 - 20·log10(d) < 80.
- Isolando o logaritmo: 20·log10(d) > 15, portanto log10(d) > 0,75.
- Como a base é 10, d > 10^0,75. Sabendo que 10^0,75 é aproximadamente 5,62 (pois 10^0,75 = raiz quarta de 10^3 = raiz quarta de 1000, que vale cerca de 5,62), a distância precisa ser maior que 5,62 m.
- A menor distância inteira que satisfaz d > 5,62 é d = 6 m.
- Verificação: para d = 5, L = 95 - 20·log10(5) = 95 - 13,98 = 81,02 dB, que não fica abaixo de 80 dB. Para d = 6, L = 95 - 20·log10(6) = 95 - 15,56 = 79,44 dB, que fica abaixo de 80 dB.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (10 m) fica bem além do necessário, pois a menor distância, e não qualquer distância que funcione, é o objetivo; a alternativa C (7 m) também funciona, mas não é a menor distância inteira; a alternativa D (4 m) dá nível acima de 80 dB, pois a distância mínima é maior que 5,62 m; a alternativa E (5 m) dá 81,02 dB, acima do limite de 80 dB.
- Conclusão: a menor distância inteira é 6 m, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula dada para encontrar d tal que L(d) < 80 dB.
Alternativa por alternativa
Provavelmente concluiu que log10(d) = 0,75 corresponde a d = 10, confundindo o valor do logaritmo com o valor da distância, em vez de calcular a potência 10^0,75.
É necessário resolver 95 − 20·log₁₀(d) < 80. Assim, −20·log₁₀(d) < −15, portanto log₁₀(d) > 0,75. Logo, d > 10⁰·⁷⁵ ≈ 5,62 m. Como a distância deve ser um número inteiro de metros, a menor possibilidade é 6 m. Nesse ponto, o nível sonoro já é inferior a 80 dB.
Calculou 10^0,75 de forma aproximada demais (por exemplo, como cerca de 6,5 ou 7) e arredondou para cima, ou exigiu uma margem de segurança não pedida pelo enunciado.
Por que engana: Confundir a aplicação da fórmula logarítmica ou calcular incorretamente o logaritmo.
Inverteu o sentido da desigualdade, supondo que aproximar-se da serra reduz o ruído, quando na verdade a função L(d) diminui à medida que d aumenta.
Truncou 5,62 para 5 em vez de arredondar para cima, esquecendo que d precisa ser estritamente maior que 5,62 para que o nível fique abaixo de 80 dB.
Raio-X da questão
logaritmos e decibéis
avaliacao
logaritmos e funções · propriedades de logaritmos
Estude propriedades de logaritmos e cálculo de níveis sonoros.
Confundir a aplicação da fórmula logarítmica ou calcular incorretamente o logaritmo.
tomada_decisao
cotidiano
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