Em uma caverna recém-descoberta no interior da Bahia, arqueólogos encontraram fragmentos de madeira e ossos ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma caverna recém-descoberta no interior da Bahia, arqueólogos encontraram fragmentos de madeira e ossos ao lado de ferramentas rústicas. Para estimar a idade de um artefato, eles mediram a concentração de carbono-14 remanescente, indicada como percentual da quantidade original. Considerando que o carbono-14 sofre decaimento exponencial com meia-vida de 5 730 anos, o percentual P(t) remanescente após t anos é dado por P(t)=100·e^[-(ln 2/5 730)·t]. Em uma das amostras, a concentração de carbono-14 corresponde a 20% da quantidade original. Com base no texto, determine a idade aproximada do artefato encontrado, em anos.
- A) aproximadamente 11 460 anos
- B) aproximadamente 13 300 anos
- C) aproximadamente 9 220 anos
- D) aproximadamente 17 190 anos
- E) aproximadamente 5 730 anos
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique a equação. Queremos o t para o qual P(t) = 20, ou seja, 100·e^[-(ln 2/5730)·t] = 20. Passo 2: Divida os dois lados por 100, obtendo e^[-(ln 2/5730)·t] = 0,2. Passo 3: Aplique o logaritmo natural nos dois lados: -(ln 2/5730)·t = ln 0,2. Passo 4: Como ln 0,2 = -ln 5, a equação fica (ln 2/5730)·t = ln 5, logo t = 5730·ln 5 / ln 2. Passo 5: Calcule: ln 5 é aproximadamente 1,6094 e ln 2 é aproximadamente 0,6931; portanto t é aproximadamente 5730·1,6094/0,6931, que dá cerca de 13 300 anos. Passo 6: Conferência: após 13 300 anos, o remanescente fica entre 2 e 3 meias-vidas (entre 12,5% e 25%), o que é coerente com 20%. Passo 7: Por que as outras estão erradas: A (11 460 anos) corresponde a duas meias-vidas, que deixam 25% e não 20%; C (9 220 anos) resulta de multiplicar por ln 2 em vez de dividir; D (17 190 anos) corresponde a três meias-vidas, que deixam 12,5%; E (5 730 anos) corresponde a uma meia-vida, que deixa 50%. Passo 8: Portanto a alternativa correta é a B, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula do decaimento exponencial e isole t para encontrar a idade.
Alternativa por alternativa
Acredita que 20% corresponde a duas meias-vidas, confundindo o valor aproximado de 25% (dois ciclos de meia-vida) com 20%, e assim arredonda o tempo para 2 × 5 730.
De acordo com o modelo, 20=100·e^[-(ln 2/5 730)·t]. Dividindo por 100, obtém-se 0,2=e^[-(ln 2/5 730)·t]. Aplicando o logaritmo natural: ln(0,2)=-(ln 2/5 730)·t. Como ln(0,2)=-ln 5, resulta t=5 730·ln 5/ln 2. Portanto, t≈5 730·2,3219≈13 305 anos, ou aproximadamente 13 300 anos.
Na hora de isolar t, multiplica por ln 2 em vez de dividir, obtendo 5 730·ln 5 ≈ 9 220 anos.
Estima o tempo contando três meias-vidas (3 × 5 730 ≈ 17 190), como se 20% fosse próximo de 12,5%, sem verificar a relação exponencial exata.
Interpreta o percentual de 20% como se fosse o tempo de uma meia-vida, ou seja, toma o valor de 5 730 anos como resposta, sem perceber que uma meia-vida deixa 50% do material.
Raio-X da questão
decaimento exponencial carbono-14
avaliacao
função exponencial decaimento · logaritmo natural
Estude decaimento exponencial e meia-vida do carbono-14.
Confundir a fórmula do decaimento com crescimento ou errar o cálculo do logaritmo para encontrar t.
pensamento_critico
cientifico
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