Por que tremores de magnitude semelhante podem liberar quantidades de energia bastante distintas? Dados…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que tremores de magnitude semelhante podem liberar quantidades de energia bastante distintas? Dados ilustrativos: o Centro Sismológico Regional adota a relação E(M)=10^(1.5*M+4.8) para estimar a energia E (em joules) de um tremor de magnitude M na escala Richter. Assim, um sismo de magnitude 5.0 libera energia de 10^(1.5*5.0+4.8) J. Para fins de alerta, o centro quer saber qual magnitude M deve ser registrada para que o tremor libere o dobro dessa energia. Com base na relação dada, determine o valor aproximado de M que faz com que a energia liberada seja o dobro da de magnitude 5.0.
- A) 5.5
- B) 5.3
- C) 5.2
- D) 5.1
- E) 5.4
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Calcule a energia do tremor de magnitude 5.0. E(5.0) = 10^(1.5*5.0+4.8) = 10^(7.5+4.8) = 10^12.3 J.
- Para que a energia seja o dobro, E(M) = 2*10^12.3. Aplicando log na base 10 dos dois lados: 1.5*M+4.8 = 12.3 + log(2).
- Como log(2) é aproximadamente 0.301, temos 1.5*M + 4.8 = 12.601, logo 1.5*M = 7.801 e M = 7.801/1.5, que dá aproximadamente 5.20.
- Verificação: para M = 5.2, o expoente é 1.5*5.2+4.8 = 12.6, e 10^12.6 = 10^12.3 * 10^0.3 ≈ 2*10^12.3, que é o dobro da energia de magnitude 5.0.
- Por que as outras estão erradas: a A (5.5) e a E (5.4) dão energia de cerca de 5 a 4 vezes maior, pois a escala é exponencial; a B (5.3) corresponde a energia cerca de 2,5 vezes maior; a D (5.1) corresponde a energia um pouco menor que o dobro.
- Conclusão: a relação é exponencial, então pequenas variações de magnitude geram grandes variações de energia. O gabarito oficial (C) está correto.
💡 Dica: Use a fórmula dada para igualar a energia ao dobro e resolva para M.
Alternativa por alternativa
Supõe que dobrar a energia exige um aumento de cerca de 0,5 na magnitude, tratando a relação como se fosse linear. Na verdade, a energia cresce 10^1.5 vezes para cada unidade de M, então um aumento de 0,5 multiplica a energia por cerca de 5,6.
Soma diretamente o log(2) ≈ 0,3 à magnitude 5.0, esquecendo de dividir por 1.5, o coeficiente de M na fórmula do expoente.
A condição 10^(1.5M+4.8)=2·10^(1.5·5+4.8) leva a 1.5M+4.8=1.5·5+4.8+log10 2, logo M=5+log10 2/1.5˜5.20.
Faz a aproximação de log(2) de forma imprecisa (por exemplo, usando um valor menor, como 0,15 ou 0,1) ou arredonda o resultado de 5.20 para baixo, chegando a 5.1 quando o valor correto é cerca de 5.2.
Por que engana: Confundir a relação entre magnitude e energia, ou não aplicar corretamente a propriedade dos logaritmos para resolver a equação.
Duplica o valor de log(2) em vez de usá-lo uma vez (usando 0,6 em vez de 0,3), o que equivale a quadruplicar a energia e não duplicá-la.
Raio-X da questão
energia sismica e magnitude
avaliacao
logaritmos e potências · equações exponenciais
estudo da relação entre magnitude e energia liberada em sismos
Confundir a relação entre magnitude e energia, ou não aplicar corretamente a propriedade dos logaritmos para resolver a equação.
tomada_decisao
cientifico
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