Uma cooperativa de design sustentável fabrica placas decorativas em forma de pentágono regular. Para estimar o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Representar graficamente a variação da área e do perímetro de um polígono regular quando os comprimentos de seus lados variam, analisando e classificando as funções envolvidas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cooperativa de design sustentável fabrica placas decorativas em forma de pentágono regular. Para estimar o material necessário, seu projeto considera uma placa com lado de medida s centímetros, s>0. O perímetro é calculado pela soma dos cinco lados. Já a área é obtida decompondo a placa em cinco triângulos congruentes, resultando no modelo A(s)=(5s²)/(4 tan(p/5)), em que tan(p/5) é uma constante positiva. Com base nos modelos geométricos apresentados, como se classificam as variações do perímetro e da área da placa em função da medida s do lado?
- A) O perímetro varia linearmente e a área varia exponencialmente.
- B) O perímetro varia quadraticamente e a área varia linearmente.
- C) O perímetro varia linearmente e a área varia quadraticamente.
- D) O perímetro varia linearmente e a área varia linearmente.
- E) O perímetro varia quadraticamente e a área varia quadraticamente.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Perímetro. Como o pentágono regular tem cinco lados iguais a s, o perímetro é P(s) = 5s. Essa é uma função do primeiro grau (linear) em s, pois s aparece elevado à potência 1 e multiplicado por constante.
- Área. O modelo dado é A(s) = (5s^2)/(4 tan(p/5)). Como tan(p/5) é uma constante positiva, A(s) = k·s^2, com k = 5/(4 tan(p/5)) > 0. O expoente de s é 2, logo a área varia quadraticamente em s.
- Classificação. Perímetro linear e área quadrática corresponde à alternativa C.
- Análise das demais alternativas. A) Erra ao afirmar que a área é exponencial, pois s está na base e não no expoente. B) Inverte as classificações: o perímetro é linear, não quadrático, e a área é quadrática, não linear. D) Atribui variação linear à área, mas a área depende de s^2. E) Atribui variação quadrática ao perímetro, mas ele depende apenas de s, sem potência 2.
- Conclusão. Resolvendo por conta própria, a resposta é C, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Analise como o perímetro e a área variam em função do lado s usando as fórmulas dadas.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a forma da função com a de crescimento exponencial, achando que, por a área crescer rapidamente com s, ela deve ser exponencial. Não percebe que s está na base da potência, e não no expoente.
Por que engana: Confundir variação linear com quadrática ao analisar fórmulas de perímetro e área.
O aluno inverte as classificações, achando que o perímetro depende de s ao quadrado e a área cresce de forma linear. Não identifica que o perímetro é soma de lados (5s) e que a área contém s^2 no modelo.
O perímetro é P(s)=5s, uma constante multiplicada por s; portanto, sua dependência é linear. A área é A(s)=[5/(4 tan(π/5))]s². Como o fator entre colchetes é constante, a dependência da área em relação a s é quadrática.
O aluno ignora o s^2 presente na fórmula de A(s) e trata a área como linear, talvez por confundir a área com uma medida de comprimento ou por não observar o expoente do numerador.
O aluno acredita que o perímetro também é quadrático, talvez por associar qualquer figura plana a fórmulas de segundo grau. Não percebe que o perímetro é apenas a soma dos cinco lados, sem multiplicação de s por s.
Raio-X da questão
variação perímetro e área
avaliacao
função linear e quadrática · propriedades de polígonos regulares
Estude variações lineares e quadráticas em funções geométricas.
Confundir variação linear com quadrática ao analisar fórmulas de perímetro e área.
pensamento_critico
cotidiano
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