Uma cooperativa de artesãos brasileiros está avaliando molduras para uma exposição. Para padronizar os testes…

Questão

Uma cooperativa de artesãos brasileiros está avaliando molduras para uma exposição. Para padronizar os testes, cada moldura tem a forma de um pentágono regular, e o comprimento s de cada lado assume apenas os valores inteiros de 1 u, 2 u, 3 u e 4 u. O perímetro é dado por P(s)=5s, e a área pode ser calculada por A(s)=\(\frac{5}{4}s^2\cot(\pi/5)\approx1,7205s^2\). Os resultados dos testes são: para s=1 u, P=5 u e A˜1,72 u²; para s=2 u, P=10 u e A˜6,88 u²; para s=3 u, P=15 u e A˜15,48 u²; para s=4 u, P=20 u e A˜27,53 u². Considerando exclusivamente os quatro valores inteiros de s testados pela cooperativa, a partir de qual valor do comprimento do lado a área do pentágono ultrapassa seu perímetro pela primeira vez?

1. A) Nenhum valor de comprimento
2. B) 1 unidade de comprimento
3. C) 2 unidades de comprimento
4. D) 3 unidades de comprimento
5. E) 4 unidades de comprimento

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Calcule a área e o perímetro para cada valor inteiro de s testado. Para s=1, P=5 e A=1,72, então a área não supera o perímetro. Para s=2, P=10 e A=6,88, então ainda não supera. Para s=3, P=15 e A=15,48, então a área supera o perímetro pela primeira vez. Para s=4, P=20 e A=27,53, então a área também supera, mas não é a primeira vez.
2. Verifique a comparação decisiva. Em s=3, a diferença é 15,48 − 15 = 0,48 u², pequena mas positiva, então a área ultrapassa o perímetro.
3. Confira por que as outras alternativas estão erradas. A alternativa A está errada porque o valor s=3 satisfaz a condição. A alternativa B está errada porque, com s=1, a área (1,72) é menor que o perímetro (5). A alternativa C está errada porque, com s=2, a área (6,88) é menor que o perímetro (10). A alternativa E está errada porque s=4 também satisfaz a condição, mas o enunciado pede o primeiro valor.
4. Conclusão. O primeiro valor de s em que a área ultrapassa o perímetro é s=3 unidades de comprimento, o que corresponde à alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.

💡 Dica: Compare os valores da área e perímetro para cada s dado.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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