Uma companhia de teatro criou um painel triangular como elemento cenográfico. O triângulo inicial tem vértices…

Questão

Uma companhia de teatro criou um painel triangular como elemento cenográfico. O triângulo inicial tem vértices A(0,0), B(2,0) e C(1, raiz quadrada de 3). Para enfatizar a proporção, aplicou-se uma homotetia de centro A e razão 2, obtendo-se vértice C'. Em seguida, o painel foi girado em 180 graus em torno do ponto médio de AB para posicionar o painel C". Considere as transformações descritas no texto-base e determine as coordenadas do vértice C" resultante após a homotetia seguida da rotação de 180 graus.

1. A) (0, -2*raiz quadrada de 3)
2. B) (-2, -2*raiz quadrada de 3)
3. C) (0, 2*raiz quadrada de 3)
4. D) (2, -2*raiz quadrada de 3)
5. E) (0, -raiz quadrada de 3)

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Na homotetia de centro A(0,0) e razão 2, cada ponto P vai para P' = 2 vezes P (em relação a A). Assim, C(1, raiz de 3) vai para C'(2, 2 raiz de 3). Passo 2: A rotação de 180 graus em torno do ponto médio M de AB. Como A(0,0) e B(2,0), M = (1,0). Em uma rotação de 180 graus em torno de M, o ponto P' é transformado em P'' = (2 vezes Mx - x, 2 vezes My - y). Passo 3: Aplicando a C'(2, 2 raiz de 3): x'' = 2 vezes 1 - 2 = 0 e y'' = 2 vezes 0 - 2 raiz de 3 = -2 raiz de 3. Logo C'' = (0, -2 raiz de 3), que é a alternativa A. Passo 4: Conferência geométrica: M é o ponto médio de C'C''; de fato (2+0)/2 = 1 e (2 raiz de 3 - 2 raiz de 3)/2 = 0, coincidindo com M. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa B resulta de girar em torno de A (origem) em vez de M; a C resulta de apenas refletir C' em relação ao eixo x sem a mudança correta da abscissa; a D resulta de refletir C' em relação à reta AB, o que não é uma rotação de 180 graus em torno de M; a E parte do ponto C original, ignorando a homotetia, e ainda erra a abscissa. O gabarito oficial A está correto.

💡 Dica: Calcule a homotetia e depois aplique a rotação de 180° em torno do ponto médio de AB.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Padrões geométricos ganham destaque no forro de um auditório experimental de arte. Em um esboço sobre papel…
• Nas projeções de um projeto paisagístico, um arquiteto desenhou um triângulo com vértices A(2,1), B(4,1) e C(3,3) no…
• Dados ilustrativos: Em um experimento de arte geométrica, um triângulo A tem vértices nos pontos (0,0), (2,0) e (1,1) no…
• Durante a restauração de um vitral, uma equipe representou um triângulo equilátero no plano cartesiano. O centro de…
• Exposição interativa desafia visitantes a reconstruir mosaicos triangulares a partir de um painel inicial. Cada painel é…
• No painel de azulejos de uma estação, um mesmo triângulo foi repetido em um plano cartesiano para formar um desenho…

Todas as questões de Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação