Exposição interativa desafia visitantes a reconstruir mosaicos triangulares a partir de um painel inicial…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Utilizar as noções de transformações isométricas (translação, reflexão, rotação e composições destas) e transformações homotéticas para construir figuras e analisar elementos da natureza e diferentes produções humanas (fractais, construções civis, obras de arte, entre outras).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Exposição interativa desafia visitantes a reconstruir mosaicos triangulares a partir de um painel inicial. Cada painel é um triângulo equilátero com vértices A(0,0), B(2,0) e C(1, raiz quadrada de 3). A proposta é aplicar primeiro uma homotetia de centro na origem e razão 1/2, e em seguida uma rotação de 120 graus no sentido anti-horário também em torno da origem. Assim geram-se novos painéis que se encaixam em composições circulares, mantendo proporção e orientação relativa. Os participantes devem prever as coordenadas dos vértices resultantes após essas transformações. Analise o texto-base e identifique as coordenadas dos vértices A\', B\' e C\' obtidos após a homotetia de razão 1/2 seguida da rotação de 120 graus.
- A) A\'(0,0), B\'(1, raiz quadrada de 3/2), C\'(-1/2,0)
- B) A\'(0,0), B\'(-1/2, raiz quadrada de 3/2), C\'(1,0)
- C) A\'(0,0), B\'(-1/2, raiz quadrada de 3/2), C\'(-1,0)
- D) A\'(0,0), B\'(-1, raiz quadrada de 3), C\'(-2,0)
- E) A\'(0,0), B\'(1/2, raiz quadrada de 3/2), C\'(1,0)
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a homotetia de centro na origem e razão 1/2. Nela, cada vértice (x,y) vai para (x/2, y/2). Assim, A(0,0) vai para (0,0), B(2,0) vai para (1,0) e C(1, raiz de 3) vai para (1/2, raiz de 3/2). Passo 2: Aplique a rotação de 120 graus no sentido anti-horário em torno da origem, usando cos(120) = -1/2 e sen(120) = raiz de 3/2. As fórmulas são x' = x cos(120) - y sen(120) = -x/2 - (raiz de 3/2) y e y' = x sen(120) + y cos(120) = (raiz de 3/2) x - y/2. Passo 3: Para B'(1,0), obtemos x' = -1/2 e y' = raiz de 3/2, logo B'(-1/2, raiz de 3/2). Passo 4: Para C'(1/2, raiz de 3/2), obtemos x' = (-1/2)(1/2) - (raiz de 3/2)(raiz de 3/2) = -1/4 - 3/4 = -1 e y' = (raiz de 3/2)(1/2) - (raiz de 3/2)(1/2) = 0, logo C'(-1,0). Passo 5: A origem é fixa, então A'(0,0). O resultado é A'(0,0), B'(-1/2, raiz de 3/2), C'(-1,0), que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A troca os valores e não corresponde à rotação de 120 graus; B acerta B' mas erra o cálculo de C'; D ignora a homotetia; E usa um ângulo de 60 graus em vez de 120 graus.
💡 Dica: Aplique a homotetia e depois a rotação nas coordenadas dos vértices.
Alternativa por alternativa
O aluno aplicou a fórmula da rotação com sinais ou coordenadas trocadas, obtendo B' em (1, raiz de 3/2), que não corresponde a nenhuma rotação de 120 graus do ponto B'(1,0).
O aluno calculou corretamente B' mas errou o sinal ao calcular x' de C', somando em vez de subtrair o produto y·sen(120), e obteve C'(1,0) em vez de C'(-1,0).
A homotetia reduz para (1,0) e (1/2,v3/2), depois rotação de 120° leva a esses pontos.
O aluno aplicou a rotação de 120 graus diretamente sobre B(2,0) e C(1, raiz de 3), esquecendo a homotetia de razão 1/2 que deveria ser feita antes.
O aluno usou um ângulo de rotação de 60 graus em vez de 120 graus, e aplicou sentidos inconsistentes entre os vértices, o que gerou B'(1/2, raiz de 3/2) e C'(1,0).
Por que engana: Confundir a ordem das transformações ou aplicar incorretamente a rotação e a homotetia nas coordenadas.
Raio-X da questão
transformacoes geometricas planas
avaliacao
coordenadas no plano cartesiano · transformacoes geometricas basicas
estude homotetia e rotacao no plano cartesiano
Confundir a ordem das transformações ou aplicar incorretamente a rotação e a homotetia nas coordenadas.
pensamento_critico
cotidiano
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