Uma análise recente dos registros de uso de um aplicativo de aprendizagem de idiomas indica que o número de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma análise recente dos registros de uso de um aplicativo de aprendizagem de idiomas indica que o número de usuários ativos cresce em progressão geométrica com razão de 1,5 a cada mês. Os dados a seguir mostram o total de usuários mensais e o tempo necessário para certas metas: Mês (t) | Usuários (U) 0 | 100 1 | 150 2 | 225 3 | 337,5 4 | 506,25 Meta de Usuários (M) | Tempo (t) 150 | 1 225 | 2 337,5 | 3 506,25 | 4 Com base nos registros apresentados, identifique a expressão que determina, em função de U, o tempo t (em meses) para a base de usuários atingir U.
- A) t = log base1.5 (U/100)
- B) t = log base1.5 (100/U)
- C) t = log base1.5 (U)
- D) t = ln(U)/ln(1.5)
- E) t = log base10 (U/100)
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. Como o número de usuários cresce em progressão geométrica com razão 1,5 e começa em 100 (t = 0), a função é U(t) = 100 · 1,5^t.
- Isole t. Divida os dois lados por 100: U/100 = 1,5^t.
- Aplique logaritmo de base 1,5 nos dois lados: log base 1,5 de (U/100) = t.
- Verifique com os dados. Para U = 150, log base 1,5 de (150/100) = log base 1,5 de 1,5 = 1, que é o tempo registrado na tabela. Para U = 506,25, log base 1,5 de 5,0625 = 4, também consistente com a tabela.
- Por que as outras estão erradas. B inverte a razão e daria t negativo para U > 100. C esquece de dividir por 100 e só serviria se a base inicial fosse 1. D está na forma de mudança de base correta, mas também esquece a divisão por 100, e equivale a log base 1,5 de U, que é a mesma expressão de C. E usa base 10 em vez da razão 1,5, e log base 10 de (U/100) não resolve 100 · 1,5^t = U.
- Conclusão: a alternativa correta é A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Use a fórmula da progressão geométrica e propriedades dos logaritmos para isolar t.
Alternativa por alternativa
A função exponencial U=100·(1,5)^t tem inversa t=log base1.5 (U/100), relacionando U e t.
O aluno inverteu a fração dentro do logaritmo, tratando 100/U como se fosse U/100. Com isso, o tempo ficaria negativo para U maior que 100, o que contradiz os dados.
O aluno aplicou o logaritmo de base 1,5 diretamente em U e ignorou o valor inicial de 100 usuários, como se a população começasse em 1.
O aluno conhece a mudança de base para logaritmo natural, mas esqueceu de dividir U pelo valor inicial de 100. Como ln(U)/ln(1,5) é igual a log base 1,5 de U, o erro é o mesmo de C.
Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou inverter a razão da progressão geométrica ao montar a expressão.
O aluno trocou a base do logaritmo pela base decimal, confundindo a razão de crescimento (1,5) com a base usual de logaritmo (10). O logaritmo de base 10 não representa o crescimento de 1,5 por mês.
Raio-X da questão
progressão geométrica e logaritmos
avaliacao
progressão geométrica · propriedades dos logaritmos
Estude progressão geométrica e propriedades dos logaritmos.
Confundir a base do logaritmo ou inverter a razão da progressão geométrica ao montar a expressão.
pensamento_critico
cotidiano
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