Uma plataforma brasileira de cursos on-line lançou um recurso interativo para incentivar a participação dos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma plataforma brasileira de cursos on-line lançou um recurso interativo para incentivar a participação dos estudantes. No primeiro mês após o lançamento, foram registrados 200 novos usuários; no segundo mês, 260; e, no terceiro mês, 338. Como 260 = 200 · 1,3 e 338 = 260 · 1,3, considera-se que, nesse período, o número de novos usuários foi multiplicado por 1,3 a cada mês. Seja t o número inteiro correspondente ao mês, com t = 1 para o primeiro mês. Com base nos dados apresentados, qual função f(t) representa o número de novos usuários no t-ésimo mês, mantendo a tendência de multiplicação mensal observada?
- A) f(t) = 200 · 1,3^(t − 1)
- B) f(t) = 260 · 1,3^(t − 1)
- C) f(t) = 200 · 1,5^(t − 1)
- D) f(t) = 200 · 1,2^(t − 1)
- E) f(t) = 200 · 1,3^t
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o padrão. Cada mês o número de novos usuários é o mês anterior multiplicado por 1,3, ou seja, é uma progressão geométrica com razão 1,3. O primeiro termo é 200, pois é o número de usuários no primeiro mês. Passo 2: Escreva o termo geral de uma PG. Começando de f(1) = 200, o termo do mês t é obtido multiplicando 200 por 1,3 exatamente (t − 1) vezes, logo f(t) = 200 · 1,3^(t − 1). Passo 3: Verifique com os dados do enunciado. Para t = 1, f(1) = 200 · 1,3^0 = 200. Para t = 2, f(2) = 200 · 1,3^1 = 260. Para t = 3, f(3) = 200 · 1,3^2 = 200 · 1,69 = 338. Os três valores batem com os dados. Passo 4: Por que as demais estão erradas. B usa 260 como primeiro termo, o que contraria o fato de que o primeiro mês registrou 200 usuários. C usa razão 1,5, mas a razão observada é 1,3 (260/200 = 1,3 e 338/260 = 1,3). D usa razão 1,2, que não corresponde a nenhuma das divisões dos dados. E mantém a razão e o primeiro termo corretos apenas na forma, mas o expoente t faz f(1) = 260, o que deslocaria todos os meses uma posição. Conclusão: a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Identifique a razão da progressão multiplicativa entre os meses e formule a função exponencial.
Alternativa por alternativa
No primeiro mês, t = 1, a função deve produzir 200 usuários. Como o número é multiplicado por 1,3 a cada avanço de mês, a razão aparece elevada ao número de intervalos transcorridos desde o primeiro mês, isto é, t − 1. Portanto, f(t) = 200 · 1,3^(t − 1).
O aluno tomou o valor do segundo mês (260) como termo inicial da sequência, esquecendo que o primeiro mês registrou 200 usuários. Assim, a função daria 260 para t = 1.
O aluno leu ou calculou a razão como 1,5 em vez de 1,3, o que não corresponde a 260/200 nem a 338/260.
O aluno calculou mal a razão entre os termos consecutivos, obtendo 1,2 em vez de 1,3, e aplicou essa razão errada na função.
O aluno aplicou corretamente a razão e o valor 200, mas usou o expoente t em vez de t − 1, o que faz f(1) = 260 e desloca toda a sequência em um mês.
Raio-X da questão
função exponencial, progressão geométrica
diagnostico
progressão geométrica · função exponencial básica
estude progressão geométrica e funções exponenciais
Confundir a base da função exponencial ou usar uma razão incorreta para o crescimento mensal.
tomada_decisao
cotidiano
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