Por que algumas plataformas digitais apresentam crescimento exponencial? Pesquisa interna registrou que o…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que algumas plataformas digitais apresentam crescimento exponencial? Pesquisa interna registrou que o número de usuários de um aplicativo cresceu de 500 na primeira semana para 1000 na segunda e 2000 na terceira. Mantendo esse padrão, a equipe previu que o número de usuários dobra a cada semana. Esse comportamento pode ser descrito por uma progressão geométrica de razão 2, cuja expressão para o n-ésimo termo auxilia em projeções de mercado. Cada termo da sequência corresponde ao total de usuários ao final da semana n, considerando n iniciando em 1. Analise o texto-base e identifique a expressão que descreve o número de usuários na n-ésima semana, considerando n >= 1.
- A) 1000 × 2^(n-2)
- B) 500 × 2^n
- C) 500 × 2^(n+1)
- D) 500 × 2^(n-2)
- E) 502 + 2n
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique os dados do enunciado. O primeiro termo é a1 = 500 (primeira semana), a razão é q = 2 (o número de usuários dobra a cada semana) e a sequência é uma progressão geométrica.
- Aplique a fórmula do termo geral da PG, an = a1 × q^(n-1). Substituindo, obtemos an = 500 × 2^(n-1), válida para n >= 1.
- Verifique com os dados da pesquisa. Para n = 1, 500 × 2^0 = 500; para n = 2, 500 × 2^1 = 1000; para n = 3, 500 × 2^2 = 2000. Os valores conferem com o registro.
- Compare com as alternativas. A alternativa A, 1000 × 2^(n-2), é equivalente à expressão obtida, pois 1000 = 500 × 2 e 2^(n-2) × 2 = 2^(n-1). Assim, 1000 × 2^(n-2) = 500 × 2^(n-1). Para n = 1, dá 1000 × 2^(-1) = 500; para n = 2, dá 1000; para n = 3, dá 2000. Portanto, A está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. B (500 × 2^n) dá 1000 na primeira semana, o que contradiz o dado inicial. C (500 × 2^(n+1)) dá 2000 na primeira semana. D (500 × 2^(n-2)) dá 250 na primeira semana. E (502 + 2n) não é uma progressão geométrica e dá 504 na primeira semana.
💡 Dica: Use o primeiro termo correspondente a n=1 e verifique a razão entre semanas consecutivas.
Alternativa por alternativa
A sequência começa com 500 usuários e dobra a cada semana. A expressão apresentada resulta em 500 usuários na primeira semana e, em seguida, em 1000 e 2000.
O aluno usou o expoente n diretamente, sem ajustá-lo à posição do termo, e por isso a primeira semana já sai como 1000 usuários em vez de 500.
O aluno deslocou o expoente para n+1, como se a primeira semana já tivesse passado por dois dobramentos, e assim obteve 2000 usuários na semana 1.
O aluno confundiu a posição do primeiro termo, tratando o 500 como se fosse o segundo termo da sequência, o que leva a uma semana 1 com 250 usuários.
Por que engana: O aluno pode escolher uma expressão que dobra corretamente entre semanas, mas não confere se o valor para n=1 coincide com os 500 usuários informados.
O aluno interpretou o crescimento como linear (somando 2 usuários por semana), pela intuição do dia a dia, em vez de multiplicativo como indica a razão 2 de uma progressão geométrica.
Raio-X da questão
Termo geral de progressão geométrica
avaliacao
Razão de progressão geométrica · Potenciação com expoente inteiro
Revise a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica e a associação entre o índice n e o primeiro termo.
O aluno pode escolher uma expressão que dobra corretamente entre semanas, mas não confere se o valor para n=1 coincide com os 500 usuários informados.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cotidiano
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