Pesquisadores acompanham há dois meses o desenvolvimento de uma colônia de microalgas em tanques que simulam…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Pesquisadores acompanham há dois meses o desenvolvimento de uma colônia de microalgas em tanques que simulam condições de lagoa. A contagem inicial foi de 500 células por mL. Observou-se que, após 5 dias, a população dobrou, seguindo um modelo de crescimento exponencial discreto. A partir desse padrão, é possível projetar a variação futura da população. A partir das informações do texto, determine quantos dias serão necessários para que a população alcance o triplo do valor inicial.
- A) Em cerca de 10,6 dias
- B) Em cerca de 5 dias
- C) Em cerca de 8,5 dias
- D) Em cerca de 7,9 dias
- E) Em cerca de 15 dias
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo. A população dobra a cada 5 dias, então N(t) = 500 x 2^(t/5), em que t é o tempo em dias e 500 é a contagem inicial em células por mL. Passo 2: Defina a meta. O triplo de 500 é 1500 células por mL. Basta resolver 500 x 2^(t/5) = 1500, o que dá 2^(t/5) = 3. Passo 3: Aplique logaritmo. Tomando log na base 2, t/5 = log na base 2 de 3. Como log na base 2 de 3 é aproximadamente 1,585, temos t = 5 x 1,585 = 7,925, ou seja, cerca de 7,9 dias. Passo 4: Confira pela lógica. Em 5 dias a população fica em 1000 e em 10 dias em 2000. O triplo (1500) está entre esses dois marcos, mais perto de 5 do que de 10, o que é coerente com 7,9 dias. Passo 5: Compare com as alternativas. A alternativa D (cerca de 7,9 dias) é a única compatível com o resultado. A alternativa A (10,6 dias) é errada porque é o tempo para chegar a 2000 ou mais e ultrapassa a meta. A alternativa B (5 dias) é errada porque em 5 dias a população só dobra, chegando a 1000. A alternativa C (8,5 dias) é errada porque é uma aproximação grosseira do logaritmo e supera o valor exato. A alternativa E (15 dias) é errada porque multiplica o período de dobra pelo fator 3, o que não corresponde ao crescimento exponencial. O gabarito oficial D está correto.
💡 Dica: Use a fórmula do crescimento exponencial para calcular o tempo até triplicar a população.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tratou o crescimento como linear, somando 500 células a cada 5 dias, e então concluiu que seriam necessários cerca de 10 dias para acumular o aumento de 1000 células. Não percebeu que o crescimento é exponencial e que a população se multiplica, e não se soma.
Por que engana: Confundir o tempo para dobrar com o tempo para triplicar ou usar cálculo linear em vez de exponencial.
Confundiu o tempo de dobrar a população com o tempo de triplicá-la. Como a população dobra em 5 dias, supôs que o triplo também seria atingido nesse mesmo intervalo.
Provavelmente chegou à equação correta, mas usou uma aproximação grosseira para log na base 2 de 3, por exemplo 1,7, obtendo 5 x 1,7 = 8,5. O erro está no cálculo numérico, não na montagem do modelo.
Resolve-se 500·2^(t/5)=500·3 ?2^(t/5)=3 ? t=5·ln3/ln2˜7,9 dias.
Multiplicou o período de 5 dias pelo fator 3 do triplo (5 x 3 = 15), como se o crescimento fosse linear por etapas. Não aplicou a relação exponencial entre o número de dobras e o tempo.
Raio-X da questão
crescimento exponencial discreto
avaliacao
função exponencial discreta · logaritmos
Estude crescimento exponencial e cálculo de tempo em modelos matemáticos.
Confundir o tempo para dobrar com o tempo para triplicar ou usar cálculo linear em vez de exponencial.
tomada_decisao
cotidiano
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