Por que algumas bactérias dobram em poucas horas, mas levam dias para quadruplicar? Uma cultura no laboratório…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que algumas bactérias dobram em poucas horas, mas levam dias para quadruplicar? Uma cultura no laboratório começou com 2 × 10^6 células. Observou-se que a população dobrava a cada 3 horas. Assim, o número de células N em função do tempo t (em horas) obedece a N(t) = 2 × 10^6 · 2^(t/3). Com esse modelo, é possível prever quando a cultura alcançará determinadas quantidades. A partir do texto-base, identifique quantas horas serão necessárias para que a população bacteriana atinja 16 × 10^6 células.
- A) 6 horas
- B) 9 horas
- C) 12 horas
- D) 18 horas
- E) 15 horas
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique o modelo dado no enunciado: N(t) = 2 × 10^6 · 2^(t/3), em que t é o tempo em horas e a população dobra a cada 3 horas.
- Queremos o tempo t em que N(t) = 16 × 10^6. Escreva a equação: 2 × 10^6 · 2^(t/3) = 16 × 10^6.
- Divida os dois lados por 2 × 10^6 para isolar a potência: 2^(t/3) = 8.
- Reescreva 8 como potência de 2: 8 = 2^3. Então 2^(t/3) = 2^3, e os expoentes devem ser iguais: t/3 = 3.
- Multiplique por 3: t = 9 horas. Conferindo: em 9 horas há 3 duplicações, logo 2 × 10^6 · 2^3 = 16 × 10^6.
- Compare com o gabarito. A resposta correta é a alternativa B (9 horas), que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (6 horas) daria apenas 2 duplicações, resultando em 8 × 10^6 células; C (12 horas) daria 4 duplicações, resultando em 32 × 10^6; D (18 horas) daria 6 duplicações, resultando em 128 × 10^6; E (15 horas) daria 5 duplicações, resultando em 64 × 10^6.
💡 Dica: Use a fórmula dada para substituir N(t) e resolva para t.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tomou 16 como 2^4 e 8 como 2^2 de forma inconsistente, concluindo que bastam 2 duplicações (6 horas). Ele não verificou que 2 duplicações levam a 8 × 10^6, e não a 16 × 10^6.
Por que engana: O aluno pode confundir o tempo para dobrar com o tempo para quadruplicar ou errar ao manipular a função exponencial.
16/2 =8, precisando de 3 duplicações: 3 × 3 h = 9 h, conforme N(t)=2·2^(t/3).
O aluno usou o expoente de 16 (16 = 2^4) como número de duplicações, em vez de usar a razão 16/2 = 8 = 2^3. Assim ele multiplicou 4 por 3 horas, o que contraria a relação entre duplicações e tempo.
O aluno confundiu a razão de crescimento com um número de duplicações maior do que o necessário (6 duplicações, por 6 × 3 = 18 horas). Ele não percebeu que a população já atinge 16 × 10^6 após 3 duplicações.
O aluno contou uma duplicação a mais do que o necessário, possivelmente ao somar a etapa inicial ou ao confundir 16 com 2^4 e tomar 5 duplicações. Com isso, obteve 15 horas em vez de 9.
Raio-X da questão
crescimento exponencial, função exponencial
diagnostico
função exponencial básica · logaritmos simples
estude função exponencial e resolução de equações exponenciais
O aluno pode confundir o tempo para dobrar com o tempo para quadruplicar ou errar ao manipular a função exponencial.
tomada_decisao
cientifico
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