Por que um aplicativo gratuito que começou com 100 downloads no primeiro dia alcança milhares em poucos dias?…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que um aplicativo gratuito que começou com 100 downloads no primeiro dia alcança milhares em poucos dias? Um relatório interno mostra: no dia 1, foram 100 downloads; no dia 2, 200; no dia 3, 400; no dia 4, 800. Os desenvolvedores observaram que o número de downloads dobra a cada dia, sugerindo um padrão que pode ser descrito por uma fórmula matemática para prever quantos downloads ocorrerão em dias posteriores. A partir do texto-base, identifique a expressão que representa o número de downloads no dia n.
- A) 100 × 2^n
- B) 200 × 2^(n-1)
- C) 100 × 2^(n+1)
- D) 100 × n
- E) 100 × 2^(n-1)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Os downloads formam uma progressão geométrica, pois dobram a cada dia. O primeiro termo é a1 = 100 e a razão é q = 2. Passo 2: O termo geral de uma progressão geométrica é an = a1 × q^(n-1), ou seja, o valor no dia n depende de quantas vezes a razão foi aplicada desde o primeiro dia. Passo 3: Substituindo os valores, obtemos downloads no dia n = 100 × 2^(n-1). Passo 4: Conferindo com o relatório: n = 1 dá 100 × 2^0 = 100; n = 2 dá 100 × 2^1 = 200; n = 3 dá 100 × 2^2 = 400; n = 4 dá 100 × 2^3 = 800, que coincidem com os dados. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a alternativa A dá 200 no dia 1, valor incorreto; a alternativa B dá 200 no dia 1, pois usa 200 como base em vez de 100; a alternativa C dá 200 no dia 1, pois o expoente n+1 desloca toda a sequência; a alternativa D é linear e daria 300 no dia 3, não 400. Passo 6: Conclusão: a expressão correta é 100 × 2^(n-1), que coincide com o gabarito oficial E.
💡 Dica: Identifique a sequência e aplique a fórmula da progressão geométrica.
Alternativa por alternativa
O aluno percebe o crescimento exponencial de base 2 e escreve 2^n, mas não ajusta o expoente para começar em zero no dia 1. Assim, o dia 1 produziria 200 downloads, e não 100.
Por que engana: Confundir o índice da sequência, aplicando a fórmula com expoente errado ou usando progressão aritmética.
O aluno acerta o expoente n-1 mas usa 200 como coeficiente, confundindo o valor do segundo dia com o valor inicial. Isso faz o primeiro dia dar 200 em vez de 100.
O aluno acha que o expoente deve ser n+1 para representar a sequência, o que desloca todos os termos uma posição. Com isso, o dia 1 daria 200 downloads.
O aluno observa que os valores 100 e 200 crescem e supõe um aumento constante, como uma função linear. Não percebe que o número dobra, e não aumenta sempre a mesma quantidade.
Correta: sequência é PG com termo inicial 100 e razão 2, expressa por 100·2^(n-1).
Raio-X da questão
progressão geométrica, fórmula, padrão
diagnostico
potenciação e expoentes · sequências numéricas
Estude progressão geométrica e como aplicar fórmulas para sequências.
Confundir o índice da sequência, aplicando a fórmula com expoente errado ou usando progressão aritmética.
tomada_decisao
cotidiano
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