Um artista desenha, com compasso, uma circunferência de 5 cm de raio (a circunferência central). Depois, marca…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um artista desenha, com compasso, uma circunferência de 5 cm de raio (a circunferência central). Depois, marca seis pontos igualmente espaçados sobre essa circunferência e, com a ponta seca do compasso em cada um deles, traça seis novas circunferências, também de raio 5 cm. Assim, a figura tem 7 circunferências, formando uma "flor". Observe que as seis circunferências externas passam pelo centro da circunferência central e que alguns pontos de encontro são comuns a mais de duas circunferências. Quantos pontos de interseção distintos são formados pelas sete circunferências?
- A) 12
- B) 24
- C) 18
- D) 13
- E) 7
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Chame de O o centro da circunferência central e de P1 a P6 os seis centros das circunferências externas. Como as externas têm raio 5 e passam por O, cada P_k está a distância 5 de O, e os seis pontos formam um hexágono regular de lado 5. Passo 2: Interseções da central com as externas. Cada externa corta a central em dois pontos, que são os dois vizinhos de seu centro no hexágono. Assim, os seis pontos P1 a P6 pertencem à central e a duas externas cada, ou seja, são 6 pontos distintos. Passo 3: Interseções entre externas adjacentes (distância 5 entre centros). Dois círculos de raio 5 com centros a 5 de distância se cortam em dois pontos: um deles é O e o outro é o vértice do losango P_j + P_(j+1), a distância 5 raiz de 3 de O. São 6 pontos novos nessa direção, todos distintos, a 5 raiz de 3 do centro. Passo 4: Externas separadas por um vértice (distância 5 raiz de 3 entre centros). Os dois pontos de interseção são O e o próprio P_(j+1), que já foram contados. Não há ponto novo. Passo 5: Externas opostas (distância 10) são tangentes em O, que já foi contado. Passo 6: Somando os pontos distintos: O (1) mais os seis P_k (6) mais os seis pontos a 5 raiz de 3 do centro (6) dá 13. Passo 7: Por que as outras estão erradas: 12 não conta o centro O; 24 conta pares de pontos sem reconhecer que muitos coincidem; 18 conta como novos pontos que já existiam; 7 ignora as interseções entre as circunferências externas. O gabarito D (13) está correto.
💡 Dica: Conte cada ponto distinto uma única vez, incluindo os encontros compartilhados por três circunferências.
Alternativa por alternativa
Esquece que as circunferências externas opostas se tocam no centro O da circunferência central, e por isso não inclui esse ponto na contagem.
Conta dois pontos para cada par de circunferências que se cortam, sem perceber que vários pontos são comuns a três ou mais circunferências, e por isso soma pontos repetidos.
Por que engana: Contar cada encontro entre pares de circunferências separadamente, duplicando pontos comuns a três ou mais circunferências.
Trata como novos alguns pontos que já foram contados, como os vértices P_k que aparecem em mais de um par de circunferências, e não faz a identificação de coincidências.
Pontos distintos: o centro da circunferência central (1), os 6 pontos marcados sobre ela (6) e as 6 pontas externas das pétalas (6): 1 + 6 + 6 = 13.
Considera apenas os pontos em que a circunferência central encontra as externas, e acredita que as externas não se cortam entre si fora desses pontos.
Raio-X da questão
Interseções de circunferências
avaliacao
Propriedades de circunferências e círculos · Contagem sem duplicidades
Revise as posições relativas entre circunferências e a contagem de pontos de interseção sem duplicidades.
Contar cada encontro entre pares de circunferências separadamente, duplicando pontos comuns a três ou mais circunferências.
pensamento_critico
abstrato
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