Manchete fictícia: “Novo chafariz será inaugurado no jardim de esculturas”. Três pilares metálicos estão…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Manchete fictícia: “Novo chafariz será inaugurado no jardim de esculturas”. Três pilares metálicos estão instalados no jardim formando um triângulo retângulo. A distância entre os pilares A e B é 6 m, entre A e C é 8 m e entre B e C é 10 m. A equipe de desenho deve traçar uma circunferência que passe pelos três pilares, usando compasso, de modo que o chafariz seja construído exatamente no centro dessa circunferência. A partir do texto-base, calcule a distância, em metros, do ponto A até o centro do chafariz.
- A) 5 m
- B) 6 m
- C) 4,5 m
- D) 4 m
- E) 3 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo. As distâncias são AB = 6 m, AC = 8 m e BC = 10 m. Como 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2, o triângulo é retângulo com hipotenusa BC e ângulo reto em A.
- Lembre o conceito central. Em um triângulo retângulo, a circunferência que passa pelos três vértices (circunferência circunscrita) tem centro no ponto médio da hipotenusa, e raio igual à metade da hipotenusa. Esse ponto é o circuncentro, que é o centro do chafariz.
- Calcule o raio. A hipotenusa mede 10 m, então o raio é 10 / 2 = 5 m. Como o centro está no ponto médio de BC, ele equidista de B, C e A, e a distância de A até esse centro é exatamente o raio, 5 m.
- Confira com outra via. Chamando de M o ponto médio de BC, a mediana relativa à hipotenusa é sempre metade da hipotenusa, o que confirma AM = 5 m.
- Compare com o gabarito. A resposta obtida, 5 m, coincide com a alternativa A, que é o gabarito oficial. Não há divergência.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa B (6 m) confunde a distância com o comprimento do cateto AB; a alternativa C (4,5 m) não corresponde a nenhuma grandeza do triângulo; a alternativa D (4 m) é a metade do cateto AC, ponto que não é o centro da circunferência; a alternativa E (3 m) é a metade do cateto AB, também sem relação com o circuncentro.
💡 Dica: Use propriedades do triângulo retângulo e circunferência circunscrita para encontrar o centro.
Alternativa por alternativa
Em triângulo retângulo, o circuncentro fica no ponto médio da hipotenusa BC; distância de A(0,0) a (3,4) é sqrt(3^2+4^2)=5 m.
O aluno supõe que o centro da circunferência está sobre um dos pilares ou que o raio coincide com um dos lados, e então usa 6 m diretamente como resposta.
Por que engana: Confundir o centro da circunferência com o ortocentro ou usar medidas incorretas dos lados.
O aluno tenta obter o raio por uma fórmula improvisada, como média dos lados ou metade de uma soma de medidas, sem reconhecer que o raio é metade da hipotenusa.
O aluno toma a metade do cateto AC (8/2 = 4) como distância, supondo que o centro está no ponto médio de AC, e não no ponto médio da hipotenusa BC.
O aluno toma a metade do cateto AB (6/2 = 3) como distância, supondo que o centro está no ponto médio de AB, o que não corresponde ao circuncentro do triângulo retângulo.
Raio-X da questão
circunferência circunscrita triângulo
avaliacao
triângulo retângulo · circunferência circunscrita
Estude propriedades do triângulo retângulo e circunferência circunscrita.
Confundir o centro da circunferência com o ortocentro ou usar medidas incorretas dos lados.
pensamento_critico
cotidiano
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