Em um ateliê, Ana organiza contas coloridas em fileiras de um colar. Ela registrou cinco maneiras diferentes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um ateliê, Ana organiza contas coloridas em fileiras de um colar. Ela registrou cinco maneiras diferentes de determinar a quantidade de contas em cada fileira. Algumas regras usam diretamente a posição da fileira, enquanto outra usa fileiras anteriores. Considerando apenas a regra apresentada em cada alternativa, qual sequência é recursiva, isto é, define cada termo a partir de um ou mais termos anteriores?
- A) A sequência em que a quantidade de contas da fileira n é dada por 3n + 2.
- B) A sequência em que a primeira fileira tem 1 conta, a segunda tem 1 conta e cada fileira seguinte tem a soma das duas fileiras anteriores.
- C) A sequência em que a quantidade de contas da fileira n é dada por n² + 1.
- D) A sequência em que as quantidades de contas se repetem na ordem 2, 5, 2, 5, 2, 5.
- E) A sequência em que a quantidade de contas da fileira n é dada por 5·2^(n−1).
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Uma sequência é recursiva quando cada termo é definido a partir de um ou mais termos anteriores, e não diretamente pela posição n. Passo 2: Na alternativa B, a primeira e a segunda fileiras têm 1 conta cada, e cada fileira seguinte tem a soma das duas anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8...). Isso define a3 = a1 + a2, a4 = a2 + a3 e assim por diante, por isso ela é recursiva. Passo 3: A alternativa A está errada, pois 3n + 2 é uma fórmula explícita que calcula a fileira n diretamente pela posição. Passo 4: A alternativa C está errada, pois n² + 1 também depende apenas da posição n, sem usar fileiras anteriores. Passo 5: A alternativa D está errada, pois a lista 2, 5, 2, 5... se repete, mas não há uma regra que defina um termo a partir de termos anteriores; cada termo pode ser descrito pela posição (fileiras ímpares têm 2 contas e pares têm 5). Passo 6: A alternativa E está errada, pois 5·2^(n-1) fornece o termo n diretamente, mesmo que cada termo seja o dobro do anterior, já que a regra dada é a fórmula geral. Passo 7: Portanto, a resposta correta é B, de acordo com o gabarito oficial.
💡 Dica: Identifique a definição recursiva comparando as regras dadas para cada sequência.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que, por a quantidade crescer de forma linear e depender de n, a sequência precisa ser calculada a partir da fileira anterior. Ele confunde dependência da posição com dependência de termos anteriores.
Uma sequência é recursiva quando o termo de uma posição é calculado usando um ou mais termos que já foram definidos. Nessa alternativa, cada fileira, a partir da terceira, é obtida somando as quantidades das duas fileiras anteriores. As demais regras indicam diretamente a quantidade de contas ou repetem um padrão, sem usar termos anteriores para calcular o próximo.
O aluno acredita que qualquer fórmula com n elevado ao quadrado ou que gere números crescentes seja recursiva, porque cresce a partir do anterior. Ele não percebe que a fórmula dá o termo diretamente pela posição.
O aluno vê que cada valor depende do anterior, pois a sequência alterna, e conclui que ela é recursiva. Ele confunde uma sequência periódica, que pode ser descrita pela posição, com uma definição recursiva.
O aluno percebe que cada fileira é o dobro da anterior e acha que isso caracteriza uma definição recursiva. Ele não reconhece que 5·2^(n-1) é a fórmula geral que calcula o termo n diretamente.
Raio-X da questão
sequência recursiva e termo geral
diagnostico
sequência numérica · função de termo geral
Estude a diferença entre sequência recursiva e fórmula de termo geral.
Confundir sequência definida por fórmula fechada com sequência recursiva, escolhendo uma que não depende de termos anteriores.
pensamento_critico
cotidiano
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