Para estudar a sincronização de semáforos em uma avenida de uma cidade brasileira, uma equipe de mobilidade…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para estudar a sincronização de semáforos em uma avenida de uma cidade brasileira, uma equipe de mobilidade urbana registrou o funcionamento de dois equipamentos. O semáforo A inicia um novo ciclo a cada 90 segundos, e o semáforo B inicia um novo ciclo a cada 126 segundos. Em cada ciclo, o sinal verde permanece aceso durante os primeiros 20 segundos. No instante inicial, tomado como meia-noite, os dois semáforos começam simultaneamente o período verde. Após esse instante, cada semáforo repete seu ciclo independentemente do outro. Para este problema, considera-se simultaneidade quando existe qualquer intervalo, mesmo que breve, em que os dois sinais estejam verdes ao mesmo tempo. Com base nessas informações, quanto tempo decorrerá desde a meia-noite até o início do primeiro intervalo posterior em que os dois semáforos estarão verdes simultaneamente?
- A) 3 minutos e 36 segundos
- B) 18 segundos
- C) 10 minutos e 30 segundos
- D) 4 minutos e 12 segundos
- E) 4 minutos e 30 segundos
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Modele os verdes. O semáforo A está verde nos intervalos [90a, 90a+20) segundos e o B nos intervalos [126b, 126b+20), com a e b inteiros não negativos. Há simultaneidade quando esses intervalos se sobrepõem, ou seja, quando -20 < 90a - 126b < 20.
- Como 90 e 126 são múltiplos de 18, a diferença 90a - 126b só pode assumir valores múltiplos de 18. Dentro do intervalo (-20, 20), restam apenas -18, 0 e 18.
- Teste os casos. Para a diferença 0, é preciso 90a = 126b, o que ocorre apenas em 630 s (múltiplo comum de 90 e 126). Para a diferença 18, temos 5a - 7b = 1, com a = 3 e b = 2, o que dá t = 270 s.
- Verifique o caso 270 s. O semáforo B iniciou um ciclo em 252 s e está verde até 272 s. O semáforo A inicia em 270 s e está verde até 290 s. A sobreposição é [270, 272), de 2 segundos, o que basta pelo enunciado.
- Confirme que não há instante menor. Os inícios de verde só ocorrem em múltiplos de 90 ou de 126. Testando 90, 126, 180 e 252, em nenhum deles o outro semáforo está verde. Logo, o primeiro intervalo posterior à meia-noite começa em 270 s, ou seja, 4 minutos e 30 segundos. O gabarito E está correto.
- Por que as outras estão erradas: A) 216 s não é início de verde de nenhum dos semáforos; B) 18 s é o MDC de 90 e 126, não um instante de sobreposição; C) 630 s é o MMC, mas há sobreposição antes disso; D) 252 s é início do ciclo de B, mas nesse instante o semáforo A está vermelho.
💡 Dica: Calcule o mínimo múltiplo comum dos ciclos dos semáforos.
Alternativa por alternativa
O aluno escolheu um instante que não é início de verde de nenhum dos dois semáforos, provavelmente por somar ou aproximar ciclos sem checar os dois sinais. 216 s não é múltiplo de 90 nem de 126.
Por que engana: Confundir o cálculo do MMC com a soma ou subtração dos tempos dos ciclos dos semáforos.
O aluno calculou o MDC de 90 e 126 (18 s) e tomou esse valor como o instante de simultaneidade, confundindo o divisor comum com o momento em que os ciclos coincidem.
O aluno calculou o MMC de 90 e 126 (630 s) e assumiu que só há simultaneidade quando os dois ciclos reiniciam juntos, ignorando que a janela verde de 20 segundos permite sobreposição parcial antes disso.
O aluno tomou 252 s, início do ciclo do semáforo B, como instante de simultaneidade sem verificar se o semáforo A estava verde, o que não ocorre nesse instante.
Os períodos verdes do semáforo A começam nos instantes 0, 90, 180, 270, ... segundos, enquanto os do semáforo B começam nos instantes 0, 126, 252, ... segundos. O período verde iniciado por A em 270 s vai de 270 s a 290 s. O período verde iniciado por B em 252 s vai de 252 s a 272 s. Portanto, eles ficam verdes simultaneamente entre 270 s e 272 s. Como não há sobreposição anterior depois do instante inicial, o primeiro intervalo posterior começa em 270 s, isto é, 4 minutos e 30 segundos.
Raio-X da questão
mínimo múltiplo comum, ciclos, tempo
avaliacao
mínimo múltiplo comum · conversão de unidades de tempo
Estude cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC) e problemas de tempo e ciclos.
Confundir o cálculo do MMC com a soma ou subtração dos tempos dos ciclos dos semáforos.
pensamento_critico
cotidiano
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