No interior de uma estufa destinada ao cultivo de microalgas, biólogos constataram que a população inicial de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No interior de uma estufa destinada ao cultivo de microalgas, biólogos constataram que a população inicial de 120 células passou a ser 960 no quarto dia de monitoramento. Observou-se crescimento constante sugerindo progressão geométrica. A cada dia subsequente, os pesquisadores anotaram a nova quantidade de células, mantendo esse padrão de crescimento. Identifique a expressão algébrica que descreve a quantidade de células a_n observadas no n-ésimo dia de cultivo.
- A) a_n = 120 * 8^(n-1)
- B) a_n = 120 * (1/2)^(n-1)
- C) a_n = 960 * 2^n
- D) a_n = 120 * 2^n
- E) a_n = 120 * 2^(n-1)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O primeiro dia de monitoramento corresponde a n = 1, com a_1 = 120 células. No quarto dia, n = 4, temos a_4 = 960 células.
- Escreva a fórmula geral de uma progressão geométrica, a_n = a_1 * q^(n-1), em que q é a razão.
- Substitua os dados conhecidos: 960 = 120 * q^(4-1), ou seja, 960 = 120 * q^3.
- Resolva para q. Dividindo 960 por 120 obtemos q^3 = 8, logo q = 2, pois 2^3 = 8.
- Monte a expressão final: a_n = 120 * 2^(n-1). Conferência: para n = 4, 120 * 2^3 = 120 * 8 = 960, que está correto.
- Por que as outras estão erradas: A usa a razão 8 em vez de 2, o que daria 120 * 8^3 = 61440 no quarto dia; B usa razão 1/2, que representa decrescimento, contrariando o crescimento observado; C usa 960 como termo inicial, quando 960 é o valor do quarto dia; D desloca o expoente, dando a_1 = 240 em vez de 120.
- Gabarito oficial: E. Minha resolução independente confirma a alternativa E.
💡 Dica: Use a fórmula da progressão geométrica para encontrar a expressão geral.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou 960 dividido por 120 e obteve 8, usando 8 como razão sem extrair a raiz cúbica. Esqueceu que o expoente é 3, não 1.
Por que engana: Confundir a razão da progressão geométrica ou aplicar a fórmula incorretamente, como usar expoente errado ou base errada.
O aluno inverteu a divisão ou confundiu crescimento com decaimento, atribuindo razão 1/2 a uma população que cresce.
O aluno tomou 960 como o valor inicial da progressão, quando ele é o valor observado no quarto dia, e a população inicial é 120.
O aluno deslocou o índice, considerando o primeiro dia como n = 0, e assim a_1 = 240, o que contradiz a população inicial de 120 no primeiro dia.
A razão r satisfaz 120·r^3=960 ? r^3=8 ? r=2, e a_n=a_1·r^(n-1)=120·2^(n-1).
Raio-X da questão
progressão geométrica, expressão algébrica
avaliacao
progressão geométrica básica · exponenciação e potências
Estude progressão geométrica e cálculo da razão e termo geral.
Confundir a razão da progressão geométrica ou aplicar a fórmula incorretamente, como usar expoente errado ou base errada.
tomada_decisao
cientifico
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