Em um laboratório de biotecnologia, pesquisadores acompanham uma cultura de células cuja população inicial é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Analisar e estabelecer relações, com ou sem apoio de tecnologias digitais, entre as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um laboratório de biotecnologia, pesquisadores acompanham uma cultura de células cuja população inicial é de 100 mil unidades e dobra a cada hora. Para comparar diferentes momentos do experimento, eles criaram um índice g(P), em que P representa a população, em milhares de células. Nesse índice, o valor 0 corresponde a uma população de 100 mil células, e cada duplicação da população aumenta o índice em uma unidade. Os registros obtidos foram: t (h) | P(t), em milhares | g(t) 0 | 100 | 0 1 | 200 | 1 2 | 400 | 2 3 | 800 | 3 Considere que o índice utiliza uma escala logarítmica de base 2. Com base nos dados do experimento, qual expressão representa corretamente o índice g em função da população P?
- A) g(P) = log₂(P) + 100
- B) g(P) = log₂(P/100)
- C) g(P) = log₂(P/200)
- D) g(P) = log₂(100/P)
- E) g(P) = log₂(P/100) + 1
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Pela tabela, g(t) é o número de duplicações desde a população inicial de 100 mil células, então g(P) deve valer 0 quando P = 100, 1 quando P = 200, 2 quando P = 400 e 3 quando P = 800. Passo 2: Para que o índice seja uma função logarítmica de base 2 que vale 0 em P = 100, o argumento do logaritmo deve ser P/100, pois log2(100/100) = log2(1) = 0. Passo 3: Verificando os demais pontos com g(P) = log2(P/100): para P = 200, log2(2) = 1; para P = 400, log2(4) = 2; para P = 800, log2(8) = 3. Todos batem com a tabela. Passo 4: Por isso a alternativa correta é a B, g(P) = log2(P/100), que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A soma 100 ao logaritmo, o que faria g(100) ser 100 e não 0. C usa 200 como referência, o que daria g(100) = -1. D inverte a razão, o que faz o índice diminuir quando a população cresce, contrariando o enunciado. E soma 1, o que daria g(100) = 1 e não 0.
💡 Dica: Use a definição de logaritmo para relacionar g e P.
Alternativa por alternativa
O aluno acha que o índice é o logaritmo de P somado a uma constante, esquecendo que o valor zero deve corresponder à população de 100 mil células. Ele não percebe que a referência precisa entrar dentro do logaritmo como divisão.
Por que engana: Confundir a base do logaritmo ou aplicar logaritmo natural em vez de logaritmo base 2.
Como cada duplicação de P aumenta g em uma unidade, a relação deve ser logarítmica de base 2. Além disso, quando P = 100, o índice vale zero. Portanto, o argumento do logaritmo deve ser P/100, pois log₂(100/100) = log₂(1) = 0. Assim, g(P) = log₂(P/100).
O aluno toma o valor 200 da tabela como referência, em vez da população inicial de 100, porque a segunda linha da tabela chama atenção. Assim, ele associa g = 0 a P = 200 e não a P = 100.
O aluno inverte a razão P/100 para 100/P, achando que o índice deve diminuir quando a população cresce. Ele não nota que a tabela mostra g crescendo de 0 para 3 à medida que P dobra.
O aluno acredita que o índice deve começar em 1 porque a primeira duplicação ocorre após a população inicial, somando 1 à expressão. Com isso, ele erra o valor de g quando P = 100, que deveria ser 0.
Raio-X da questão
função logarítmica e exponencial
diagnostico
função exponencial · propriedades de logaritmos
Estude propriedades de logaritmos e funções exponenciais.
Confundir a base do logaritmo ou aplicar logaritmo natural em vez de logaritmo base 2.
tomada_decisao
cientifico
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