No fim da temporada, um cinema de bairro decidiu testar um novo valor para o ingresso. A direção observou que…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No fim da temporada, um cinema de bairro decidiu testar um novo valor para o ingresso. A direção observou que, se o preço fosse aumentado em x reais em relação aos 20 reais atuais, o lucro diário seria dado por L(x) = -x^2 + 10x + 75, em reais. O estudo foi feito para valores de x entre 0 e 10, intervalo em que a procura se mantinha viavel. Após analisar os resultados, a administração queria adotar o reajuste que produzisse o maior lucro possivel, sem ultrapassar esse intervalo. Considere o texto-base e identifique o reajuste, em reais, que maximiza o lucro diário do cinema.
- A) O reajuste de 10 reais.
- B) O reajuste de 0 reais.
- C) O reajuste de 2 reais.
- D) O reajuste de 75 reais.
- E) O reajuste de 5 reais.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. A função L(x) = -x^2 + 10x + 75 é uma parábola com coeficiente de x^2 igual a -1, negativo, então ela tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo. Esse máximo está no vértice, que é o ponto que maximiza o lucro dentro do intervalo de 0 a 10.
- Calculei a abscissa do vértice por x_v = -b/(2a) = -10/(2 · (-1)) = -10/(-2) = 5. Como 5 está dentro do intervalo permitido (entre 0 e 10), esse é o reajuste que maximiza o lucro.
- Verifiquei o lucro no vértice: L(5) = -(5)^2 + 10 · 5 + 75 = -25 + 50 + 75 = 100 reais por dia, que é o maior valor possível da função no intervalo.
- Conferi os extremos e os demais valores para confirmar. L(0) = 75, L(10) = 75 e L(2) = 91, todos menores que 100.
- Comparação com o gabarito oficial: a letra E (reajuste de 5 reais) coincide com a minha resolução, então concordo com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas: a letra A é errada porque 10 reais é o limite do intervalo, onde o lucro cai para 75; a letra B é errada porque não haver reajuste dá lucro 75, abaixo do máximo; a letra C é errada porque 2 reais dá lucro 91, ainda abaixo de 100; a letra D é errada porque 75 reais está fora do intervalo permitido e é apenas o termo constante da função.
💡 Dica: Calcule o vértice da função quadrática para encontrar o máximo lucro.
Alternativa por alternativa
Acredita que o maior reajuste possível é sempre o melhor, ou toma o limite superior do intervalo como ponto ótimo sem calcular o lucro. Não percebe que a parábola com concavidade para baixo cai depois do vértice.
Por que engana: Escolher o valor do reajuste baseado apenas nos extremos do intervalo sem calcular o máximo da função.
Supõe que não aumentar o preço é a opção mais segura e que qualquer reajuste só reduz o lucro. Não percebe que o termo 10x da função faz o lucro crescer no início.
Aplica mal a fórmula do vértice ou calcula um valor próximo ao início do intervalo sem verificar o ponto de máximo. Assim chega a 2 e não ao valor 5 que maximiza a função.
Confunde o termo constante 75 da função, que é o lucro quando x = 0, com o valor do reajuste. Também ignora que o intervalo de análise vai apenas de 0 a 10 reais.
Correta. Em L(x) = -x^2 + 10x + 75, o máximo ocorre no vértice, em x = -b/(2a) = -10/(2.-1) = 5.
Raio-X da questão
função quadrática, máximo lucro
avaliacao
função quadrática básica · cálculo do vértice da parábola
Estude funções quadráticas e cálculo de vértice para maximização.
Escolher o valor do reajuste baseado apenas nos extremos do intervalo sem calcular o máximo da função.
tomada_decisao
cotidiano
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