No ateliê de mosaicos de Lina, cada peça decorativa é um hexágono regular feito com lâminas de madeira. Para…

Questão

No ateliê de mosaicos de Lina, cada peça decorativa é um hexágono regular feito com lâminas de madeira. Para testar modelos diferentes, ela manteve a mesma forma e variou apenas a medida do lado. Quando o lado passou de 2 cm para 3 cm e depois para 4 cm, ela anotou que o perímetro passou de 12 cm para 18 cm e depois para 24 cm. Observando os protótipos, Lina também percebeu que a área não cresce do mesmo modo que o perímetro: ao aumentar o lado, a região interna ocupa cada vez mais espaço, de forma mais acelerada. Ela quer registrar essas duas grandezas em gráficos distintos, usando o lado como variável. Considere as anotações de Lina e identifique a representação gráfica coerente com a variação do perímetro e da área em função da medida do lado.

1. A) O perímetro por uma reta horizontal e a área por uma reta inclinada.
2. B) O perímetro por uma curva constante e a área por uma reta constante.
3. C) O perímetro por uma reta decrescente e a área por uma curva decrescente.
4. D) O perímetro por uma curva crescente e a área por uma reta crescente.
5. E) O perímetro por uma reta crescente e a área por uma curva crescente.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. O perímetro de um hexágono regular de lado l é P = 6 × l. Para l = 2, 3 e 4 cm, temos P = 12, 18 e 24 cm, que crescem na mesma proporção do lado. O gráfico do perímetro em função do lado é uma reta crescente passando pela origem. Passo 2: A área de um hexágono regular é formada por 6 triângulos equiláteros de lado l, cada um com área (l^2 × raiz de 3)/4. Logo, A = (3 × raiz de 3 / 2) × l^2. Como a área depende do quadrado do lado, o gráfico é uma parábola com concavidade para cima, ou seja, uma curva crescente que sobe cada vez mais rápido. Isso confirma a observação de Lina: para l = 2, 3 e 4, a área vale aproximadamente 10,4, 23,4 e 41,6 cm^2, com acréscimos cada vez maiores. Passo 3: Conclusão: o perímetro é representado por uma reta crescente e a área por uma curva crescente, o que corresponde à alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Passo 4: Por que as outras estão erradas: a alternativa A considera o perímetro constante, contrariando os valores 12, 18 e 24, e trata a área como reta, quando ela cresce com o quadrado do lado. A alternativa B inverte as duas grandezas, pois nenhuma delas é constante. A alternativa C atribui decrescimento às duas grandezas, mas ambos os valores aumentam com o lado. A alternativa D trata o perímetro como curva, embora ele cresça de forma linear, e a área como reta, o que contraria o crescimento acelerado observado.

💡 Dica: Analise como perímetro e área variam com o lado do hexágono.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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