Relatório técnico, 14 maio 2024 — Uma equipe de topógrafos mediu a altura de uma montanha por meio de…

Questão

Relatório técnico, 14 maio 2024 — Uma equipe de topógrafos mediu a altura de uma montanha por meio de triangulação. Em dois pontos A e B, alinhados na mesma cota, determinou-se a distância AB = 600 m. Do ponto A, o ângulo de elevação até o cume C foi medido em 35 graus; do ponto B, o ângulo de elevação até C, em 50 graus. Considerou-se desprezível a diferença de nível entre A e B. Calcule a altura aproximada da montanha, em metros, com base nos dados do relatório.

1. A) Aproximadamente 400 m
2. B) Aproximadamente 215 m
3. C) Aproximadamente 310 m
4. D) Aproximadamente 180 m
5. E) Aproximadamente 266 m

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Chame de h a altura da montanha e de H o pé da perpendicular baixada do cume C sobre a reta AB. Os pontos A, B e H estão na mesma reta horizontal, e o triângulo ACH e o triângulo BCH são retângulos em H.
2. No triângulo ACH, o ângulo de elevação em A é 35 graus, então tg35 = h / AH, ou seja, AH = h / tg35 = h · cotg35.
3. No triângulo BCH, o ângulo de elevação em B é 50 graus, então tg50 = h / BH, ou seja, BH = h · cotg50.
4. Como H está entre A e B, AH + BH = AB = 600 m. Logo h · (cotg35 + cotg50) = 600.
5. Os valores aproximados são cotg35 ≈ 1,428 e cotg50 ≈ 0,839. A soma é ≈ 2,267. Então h ≈ 600 / 2,267 ≈ 264,6 m, que, com os arredondamentos usados, corresponde à alternativa E (aproximadamente 266 m).
6. Verificação pela lei dos senos: no triângulo ABC, o ângulo em A é 35 graus, o ângulo em B é 50 graus e o ângulo em C é 95 graus. Então AC = 600 · sen50 / sen95 ≈ 461 m e h = AC · sen35 ≈ 264,6 m, o mesmo resultado.
7. Por que as outras alternativas estão erradas: A (400 m) é grande demais, pois ela corresponde a uma leitura com a tangente aplicada sobre toda a base; B (215 m) e D (180 m) são pequenas demais porque subestimam a altura ao misturar razões trigonométricas; C (310 m) fica acima do valor obtido por usar a soma das tangentes no lugar da soma das cotangentes.
8. Conclusão: a altura aproximada da montanha é de cerca de 265 m, o que confirma a alternativa E como resposta.

💡 Dica: Use trigonometria para calcular a altura pela triangulação.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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