Dados de estudo de campo fictício: dois pontos de medição A e B distantes 100 m ao longo da margem de um rio…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados de estudo de campo fictício: dois pontos de medição A e B distantes 100 m ao longo da margem de um rio registraram observações de um ponto C na margem oposta. Em A, o ângulo formado pelas linhas de visada para B e para C foi estimado em 70 graus, e em B, o ângulo entre as linhas de visada para A e para C foi de 50 graus. Considerando que essas medições são exatas e que os pontos estão em um mesmo plano horizontal, empregue relações métricas de triângulos para determinar a distância entre A e C. Analise o texto-base e avalie a distância aproximada entre A e C considerando as leis do seno. Qual o valor de AC, em metros?
- A) 88,5 m
- B) 115,5 m
- C) 100 m
- D) 76,6 m
- E) 55,9 m
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o triângulo formado pelos pontos A, B e C. O lado AB mede 100 m, o ângulo em A (entre as visadas para B e para C) é 70 graus e o ângulo em B (entre as visadas para A e para C) é 50 graus.
- Calcule o ângulo em C. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, logo o ângulo em C é 180 - 70 - 50 = 60 graus.
- Aplique a lei dos senos: AC / sen(B) = AB / sen(C). Como AC é o lado oposto ao ângulo em B, temos AC = AB × sen(B) / sen(C).
- Substitua os valores: AC = 100 × sen(50 graus) / sen(60 graus). Usando sen(50 graus) de aproximadamente 0,7660 e sen(60 graus) de aproximadamente 0,8660, obtemos AC = 100 × 0,7660 / 0,8660, que é aproximadamente 88,5 m.
- Conclusão: a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa B (115,5 m) está errada, pois corresponde a 100 / sen(60 graus), isto é, esqueceu de multiplicar pelo seno de 50 graus. A alternativa C (100 m) está errada, pois supõe que AC seja igual a AB, o que só ocorreria com ângulos iguais em A e C. A alternativa D (76,6 m) está errada, pois corresponde a 100 × sen(50 graus), faltando dividir pelo seno de 60 graus. A alternativa E (55,9 m) está errada, pois não resulta de nenhuma aplicação correta da lei dos senos com os dados do enunciado.
💡 Dica: Use a lei dos senos para calcular a distância AC a partir dos ângulos e lado dados.
Alternativa por alternativa
Com ângulos de 70°,50° e 60° em C(h=180-70-50), aplica-se AC=AB·sin50°/sin60°˜100·0,7660/0,8660˜88,5 m.
O aluno calcula AB / sen(C) = 100 / sen(60 graus), que vale cerca de 115,5, e esquece de multiplicar pelo seno do ângulo em B. Ele trata a razão da lei dos senos como se fosse o próprio lado procurado.
Por que engana: Confundir os ângulos dados e aplicar incorretamente a lei dos senos, resultando em cálculo errado da distância.
O aluno supõe que AC tem o mesmo comprimento de AB, possivelmente por intuição de simetria ou por achar que os lados de um triângulo com 'aparência' regular são iguais. Ele não usa os ângulos para determinar o lado oposto ao ângulo de 50 graus.
O aluno calcula apenas AB × sen(50 graus) = 76,6 e esquece de dividir pelo seno do ângulo em C. Ele sabe que deve usar o seno de um ângulo, mas omite a proporção completa da lei dos senos.
O aluno erra o cálculo ou usa uma função trigonométrica ou um ângulo que não corresponde ao lado procurado, como ao inverter a razão dos senos ou usar um valor de seno de outro ângulo. O resultado 55,9 não surge de uma aplicação correta da lei dos senos com os dados do enunciado.
Raio-X da questão
Lei dos senos em triângulos
avaliacao
Propriedades de triângulos · Trigonometria básica
Estude a aplicação da lei dos senos para resolver triângulos oblíquos.
Confundir os ângulos dados e aplicar incorretamente a lei dos senos, resultando em cálculo errado da distância.
tomada_decisao
abstrato
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