MatemáticaFUVESTBNCC EM13MAT308Difícil⏱ 5 a 8 minu

Durante uma vistoria, uma equipe precisa estimar a altura de um paredão sem subir nele. Em terreno horizontal…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Durante uma vistoria, uma equipe precisa estimar a altura de um paredão sem subir nele. Em terreno horizontal, dois pontos de observação ficam alinhados com a base do paredão e estão separados por 20 m. Do ponto mais próximo, o ângulo de elevação até o topo é de 45 graus; do ponto mais distante, é de 30 graus. Considere desprezível a altura dos instrumentos de medição. Monte as relações geométricas correspondentes e determine a altura do paredão em metros, apresentando o raciocínio.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Seja x a distância horizontal entre a base do paredão e o ponto de observação mais próximo, e h a altura do paredão. Pelo triângulo retângulo do ponto mais próximo, tan 45 graus = h/x, logo h = x. Para o ponto mais distante, tan 30 graus = h/(x + 20), portanto h = (x + 20)/raiz quadrada de 3. Igualando as expressões de h, obtém-se raiz quadrada de 3 vezes x = x + 20, de modo que x = 10(raiz quadrada de 3 + 1). Assim, a altura do paredão é 10(raiz quadrada de 3 + 1) m, aproximadamente 27,3 m.

Explicação

Os dois ângulos determinam tangentes em triângulos retângulos cujas distâncias horizontais diferem em 20 m. Igualar as duas expressões da altura fornece h = 10(raiz quadrada de 3 + 1), aproximadamente 27,3 m.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom aplicar

Leitura Baixo

Discriminação Médio

Peso pedagógico Médio

Autonomia do enunciado Fornece os ângulos,

Cobertura da habilidade Mobiliza t

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ Problema contextuali🧩 Questão de aplicação

🎯 Conceito central

Tangente de um ângulo em triângulo retângulo.

📌 Objetivo

Modelar a situação c

🧱 Pré-requisitos

Razões trigonométricas no triângulo retângulo. · Resolução de equações com incógnitas.

📚 Reveja

Modelagem de distâncias e alturas por razões trigonométricas.

⚠️ Erro mais comum

Usar 20 m como a distância do ponto próximo à base, em vez de como a separação entre os observadores.

🌎 Tema transversal

Ciência e tecnologia: medição indireta de estruturas.

🤝 Socioemocional

Persistência na modelagem de um problema em etapas.

🏫 Contexto

Estimativa indireta

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