Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e BCD valem 30°, e o ângulo ACB vale 105°, como mostra a figura. [IMAGEM] A altura h do mastro da bandeira, em metros, é UNESP - 2011
- A) 12,5.
- B) 12,5 v2.
- C) 25,0.
- D) 25,0 v2.
- E) 35,0.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Na triangulo ABC, a soma dos angulos internos vale 180 graus. Como BAC = 30 graus e ACB = 105 graus, o angulo ABC = 180 - 30 - 105 = 45 graus. Passo 2: Aplique a lei dos senos no triangulo ABC: BC / sen(30 graus) = AC / sen(45 graus). Isso permite obter o lado BC a partir da distancia AC indicada na figura. Com AC = 50 raiz de 2 metros, obtemos BC = AC * sen(30 graus) / sen(45 graus) = 50 raiz de 2 * (1/2) / (raiz de 2 / 2) = 50 metros. Passo 3: O triangulo BCD e retangulo em D, pois o mastro e vertical e CD esta no solo. Logo, a altura h = BD = BC * sen(BCD) = BC * sen(30 graus) = 50 * (1/2) = 25 metros. Passo 4: Por que as outras estao erradas: a alternativa A (12,5) resulta de tomar BC = 25 metros, valor que nao corresponde a lei dos senos com o angulo de 45 graus; a alternativa B (12,5 raiz de 2) surge de usar BC = 25 raiz de 2 e depois multiplicar por sen(30 graus), o que mistura a lei dos senos com o angulo errado; a alternativa D (25 raiz de 2) aparece ao inverter a razao dos senos, obtendo BC = 50 raiz de 2 em vez de 50; a alternativa E (35) vem de somar ou subtrair angulos de forma indevida, sem usar a relacao trigonometrica correta no triangulo retangulo BCD.
💡 Dica: Use as leis dos senos e cossenos para calcular a altura do mastro.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente o angulo ABC, mas ao aplicar a lei dos senos troca a posicao de um dos senos e chega a um lado BC menor do que o real, dividindo indevidamente o resultado por 2 duas vezes.
Por que engana: Confundir os ângulos dados e aplicar incorretamente as leis trigonométricas, resultando em cálculo errado da altura.
O aluno usa a lei dos senos corretamente mas toma o lado AC como 50 metros em vez da medida indicada na figura, obtendo BC = 25 raiz de 2 e depois calcula a altura multiplicando por sen(30 graus).
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno inverte a razao da lei dos senos, escrevendo BC = AC * sen(45 graus) / sen(30 graus), e assim encontra BC = 50 raiz de 2 e altura 25 raiz de 2.
O aluno acredita que a altura pode ser obtida somando ou subtraindo medidas e angulos de forma intuitiva, sem reconhecer que a altura e o cateto oposto ao angulo de 30 graus no triangulo retangulo BCD.
Raio-X da questão
trigonometria aplicada em triângulos
avaliacao
leis dos senos e cossenos · propriedades dos triângulos
Estude as leis dos senos e cossenos e propriedades dos triângulos.
Confundir os ângulos dados e aplicar incorretamente as leis trigonométricas, resultando em cálculo errado da altura.
pensamento_critico
cotidiano
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