Pesquisadores acompanham há três anos o avanço de uma colônia de fungos em laboratório. No primeiro ano, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Pesquisadores acompanham há três anos o avanço de uma colônia de fungos em laboratório. No primeiro ano, a área coberta pelos fungos foi de 2 cm^2. A cada ano subsequente, observou-se que essa área passava a ser três vezes maior que a do ano anterior. Assim, no segundo ano foi 6 cm^2 e, no terceiro, 18 cm^2. Mantendo esse padrão, a sequência de áreas anuais forma uma progressão geométrica cujo termo geral a_n pode ser expresso por a_n = 2 \times 3^{n-1}, onde n indica o ano. Conclua quantas vezes a área no sexto ano supera a do primeiro ano.
- A) 125 vezes
- B) 729 vezes
- C) 6 vezes
- D) 48 vezes
- E) 243 vezes
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o primeiro termo e a razão. O primeiro ano tem área a_1 = 2 cm^2 e a razão é 3, pois a área triplica a cada ano. O termo geral é a_n = 2 x 3^(n-1).
- Calcule a área do sexto ano. Para n = 6, a_6 = 2 x 3^(6-1) = 2 x 3^5 = 2 x 243 = 486 cm^2.
- Compare com o primeiro ano. A pergunta pede quantas vezes a área do sexto ano supera a do primeiro, ou seja, a_6 / a_1 = 486 / 2 = 243. Também é possível ver direto: a_6 / a_1 = 3^5 = 243, pois a diferença de posições entre os termos é 5 e cada posição multiplica por 3.
- Conclusão. A área no sexto ano supera a do primeiro ano 243 vezes, o que corresponde à alternativa E, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A (125) não corresponde a nenhuma potência correta da razão 3 para este caso. A alternativa B (729) é 3^6, que ignora o deslocamento de um termo no termo geral. A alternativa C (6) é a área do segundo ano, e não uma comparação entre o sexto e o primeiro ano. A alternativa D (48) não resulta da razão 3 aplicada cinco vezes ao primeiro termo.
💡 Dica: Calcule o termo geral da progressão geométrica para o sexto ano e divida pela área do primeiro ano.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente inverteu a base e o expoente de 5^3 ou confundiu o número de passos da progressão, calculando uma potência que não corresponde à razão 3.
O aluno calculou 3^6 usando diretamente o número do ano, esquecendo que do primeiro ao sexto ano há apenas 5 multiplicações por 3 (expoente n-1).
Por que engana: Confundir a razão da progressão ou calcular o termo errado, levando a resultados incorretos.
O aluno tomou como resposta a área do segundo ano (6 cm^2) ou apenas a razão de um ano para o seguinte, sem comparar o sexto com o primeiro ano.
O aluno errou no cálculo do termo geral ou somou termos da progressão em vez de tomar o quociente entre o sexto e o primeiro termo, o que não corresponde ao que a questão pede.
A razão é 3, então a área no 6º ano será 3^{5}=243 vezes a do 1º ano.
Raio-X da questão
progressão geométrica, termo geral
avaliacao
progressão geométrica básica · potenciação
Estude progressão geométrica e cálculo do termo geral.
Confundir a razão da progressão ou calcular o termo errado, levando a resultados incorretos.
tomada_decisao
cientifico
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