— Repare nesta imagem: os pontos azuis parecem “desenhar” algumas faixas, mas existe uma diagonal quase sem…

Questão

— Repare nesta imagem: os pontos azuis parecem “desenhar” algumas faixas, mas existe uma diagonal quase sem pontos — comentou a mediadora de uma exposição de arte digital. A obra foi gerada a partir da chamada espiral de Ulam, na qual os inteiros positivos são escritos em uma malha, começando pelo 1 no centro e seguindo em forma de espiral. Em seguida, os números primos são marcados (na imagem, em azul). Ao observar a espiral para 150 iterações, a mediadora destacou que uma das diagonais reúne números como 1, 4, 9, 16, 25, 36 e assim por diante, o que ajuda a explicar por que essa diagonal fica praticamente “vazia” de pontos azuis. Com base no texto e no padrão observado na imagem, conclua a justificativa matemática para a quase ausência de pontos azuis nessa diagonal.

1. A) Porque nessa diagonal aparecem múltiplos de 3, e todo múltiplo de 3 é necessariamente primo.
2. B) Porque nessa diagonal aparecem números consecutivos, e números consecutivos não podem ser primos.
3. C) Porque nessa diagonal aparecem os menores números da espiral, e números menores tendem a não ser primos.
4. D) Porque nessa diagonal aparecem apenas números pares, e números pares nunca podem ser primos.
5. E) Porque nessa diagonal aparecem quadrados perfeitos n^2 (n>1), que têm divisor n e, assim, não são primos.

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Na espiral de Ulam, os inteiros positivos são escritos em uma malha a partir do 1 no centro, girando em espiral. Os primos são marcados, e o padrão de faixas aparece porque certos conjuntos de números tendem a cair em linhas, colunas ou diagonais específicas.
2. A diagonal citada pela mediadora reúne 1, 4, 9, 16, 25, 36 e assim por diante. Esses números são os quadrados perfeitos n^2, com n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
3. Um quadrado perfeito n^2 com n maior que 1 tem pelo menos três divisores: 1, n e n^2. Por exemplo, 9 é divisível por 3, e 36 é divisível por 6. Como um primo tem exatamente dois divisores positivos (1 e ele mesmo), nenhum quadrado perfeito maior que 1 pode ser primo.
4. Por isso a diagonal quase não recebe pontos azuis: quase todos os seus números são compostos. O único termo que não é composto é o 1, que não é primo por definição.
5. Análise das alternativas erradas:
6. A) Múltiplos de 3 não são todos primos; o próprio 3 é primo, mas 6, 9 e 12 não são, e a diagonal pedida não é a dos múltiplos de 3.
7. B) Números consecutivos não são uma propriedade que impede primalidade; 2 e 3 são consecutivos e ambos são primos.
8. C) Ser um número pequeno não implica não ser primo; 2, 3 e 5 são pequenos e primos.
9. D) Os números pares não formam a diagonal citada, e 2 é um número par primo.
10. Portanto, a justificativa correta é a alternativa E: os quadrados perfeitos n^2 (n>1) possuem o divisor n, logo não são primos.

💡 Dica: Identifique o padrão dos números na diagonal e relacione com a definição de número primo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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