Recorte histórico: Ao restaurar uma página antiga de “Elementos de Euclides”, um ateliê de impressão decidiu…

Questão

Recorte histórico: Ao restaurar uma página antiga de “Elementos de Euclides”, um ateliê de impressão decidiu transformar o desenho geométrico em uma marca gráfica para a capa. A imagem mostra um quadrado externo e, dentro dele, um quadrado girado (em forma de losango), cujos vértices estão indicados por letras (como D, N, E e I) e tocam os pontos médios dos lados do quadrado maior. Para manter a proporção do desenho original ao reduzir ou ampliar a arte, o designer precisa saber quanto mede o lado do quadrado interno em relação ao lado do quadrado externo. Essa relação permite configurar corretamente a escala no software, sem depender de medições diretas na imagem digitalizada. Analise o quadrado externo e o quadrado interno (losango) mostrados na imagem e conclua, em porcentagem, aproximadamente quanto o lado do quadrado interno mede em relação ao lado do quadrado externo.

1. A) aproximadamente 75% do lado do quadrado externo
2. B) aproximadamente 100% do lado do quadrado externo
3. C) aproximadamente 50% do lado do quadrado externo
4. D) aproximadamente 70,7% do lado do quadrado externo
5. E) aproximadamente 141,4% do lado do quadrado externo

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Observe que os vértices do quadrado interno (losango) tocam os pontos médios dos lados do quadrado externo. Assim, cada lado do quadrado interno liga dois pontos médios consecutivos. Passo 2: Chame de s o lado do quadrado externo. Cada ponto médio está a s/2 do vértice do quadrado externo, então o triângulo retângulo formado por um canto do quadrado externo e dois pontos médios vizinhos tem catetos iguais a s/2. Passo 3: Pelo Teorema de Pitágoras, o lado l do quadrado interno satisfaz l^2 = (s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/2, logo l = s dividido por raiz de 2. Passo 4: Racionalizando, l = s vezes raiz de 2 dividido por 2, que é aproximadamente 0,707 s, ou seja, cerca de 70,7% do lado externo. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A (75%) é uma estimativa visual que não corresponde ao valor exato de raiz de 2 dividido por 2. B (100%) supõe que o quadrado interno tem o mesmo tamanho do externo, o que não ocorre, pois seus vértices estão nos pontos médios. C (50%) confunde o lado com a área, já que a área do interno é metade da área do externo, e não o lado. E (141,4%) é o valor de raiz de 2, que é a razão entre a diagonal e o lado do quadrado externo, e não a razão entre o lado interno e o externo.

💡 Dica: Use propriedades geométricas e relações de triângulos para calcular a proporção do lado interno.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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