— Dá para cortar a peça central sem medir a diagonal? — perguntou a marceneira ao montar um painel quadrado de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
— Dá para cortar a peça central sem medir a diagonal? — perguntou a marceneira ao montar um painel quadrado de madeira. O manual do fornecedor traz o esquema da imagem: um quadrado maior, com cada lado dividido em dois segmentos, de comprimentos a e b, e quatro triângulos retângulos congruentes encaixados nas bordas. Os lados inclinados desses triângulos delimitam um quadrado central, de lado c. No projeto do painel, a marceneira escolheu triângulos com catetos medindo a = 9 cm e b = 12 cm, exatamente como indicado nas marcações do esquema. Para comprar a madeira da peça central sem desperdício, ela precisa determinar o valor de c usando a decomposição de áreas sugerida pela figura. Com base no texto e no esquema da imagem, conclua a medida de c, em centímetros, para a peça central.
- A) c mede 21 cm.
- B) c mede 18 cm.
- C) c mede 7,5 cm.
- D) c mede 15 cm.
- E) c mede 14 cm.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique a figura. O quadrado maior tem lado formado por a + b, ou seja, 9 + 12 = 21 cm. Dentro dele ficam quatro triângulos retângulos iguais, com catetos 9 cm e 12 cm, e um quadrado central de lado c, cuja hipotenusa é a hipotenusa de cada triângulo. Passo 2: Calcule a área do quadrado maior: 21 x 21 = 441 cm². Passo 3: Calcule a área de um triângulo: (9 x 12) / 2 = 54 cm². Os quatro triângulos somam 4 x 54 = 216 cm². Passo 4: A área do quadrado maior é a soma dos quatro triângulos com a área do quadrado central: 441 = 216 + c². Passo 5: Isole c²: c² = 441 - 216 = 225. Passo 6: Tire a raiz quadrada: c = raiz de 225 = 15 cm. Confira com o teorema de Pitágoras: 9² + 12² = 81 + 144 = 225, então a hipotenusa vale raiz de 225 = 15 cm, que é o lado c do quadrado central. Resposta: alternativa D. Por que as outras estão erradas: A) 21 cm é o lado do quadrado maior (a + b), não o lado da peça central. B) 18 cm não corresponde a nenhuma relação correta entre os catetos nem à decomposição de áreas. C) 7,5 cm é metade da hipotenusa, e a peça central não tem essa medida. E) 14 cm não resulta da equação 441 = 216 + c², pois a raiz de 196 não é a solução correta.
💡 Dica: Use a decomposição de áreas para relacionar os lados e calcular c.
Alternativa por alternativa
Confunde o lado do quadrado maior, que é a + b = 21 cm, com o lado do quadrado central c, que é a hipotenusa do triângulo.
Acha que c vale 18 cm, possivelmente por uma soma ou multiplicação de medidas sem relação com a decomposição de áreas, como 2 x 9.
Por que engana: Confundir os lados dos triângulos ou aplicar incorretamente a decomposição das áreas.
Supõe que o lado da peça central é a metade da hipotenusa ou faz uma média entre as medidas dos catetos, sem usar a relação de áreas.
Pela figura, (a+b)^2 = c^2 + 4·(ab/2). Assim, c^2=(a+b)^2-2ab=a^2+b^2=81+144=225 e c=15.
Faz a conta da área com erro, obtendo c² = 196 em vez de 225, e extrai a raiz de forma incorreta.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras e áreas
avaliacao
triângulo retângulo · teorema de Pitágoras
Estude o cálculo de áreas e propriedades de triângulos retângulos.
Confundir os lados dos triângulos ou aplicar incorretamente a decomposição das áreas.
tomada_decisao
cotidiano
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