Determine a fração geratriz irredutível de 2,105105105...
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz irredutível de 2,105105105...
- A) 421/200
- B) 2105/999
- C) 701/330
- D) 701/333
- E) 233/111
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Separe a parte inteira da parte decimal. Temos 2,105105105..., ou seja, 2 + 0,105105105..., e o período 105 começa logo após a vírgula, portanto a dízima é simples (sem parte não periódica). Passo 2: Para uma dízima periódica simples, a parte decimal é o período sobre tantos noves quantos forem os algarismos do período. Como o período tem 3 algarismos, 0,105105... = 105/999. Passo 3: Simplifique 105/999 dividindo por 3: 105/3 = 35 e 999/3 = 333, resultando em 35/333. Passo 4: Some a parte inteira: 2 + 35/333 = (2 x 333 + 35)/333 = (666 + 35)/333 = 701/333. Passo 5: Verifique a irredutibilidade. 333 = 3^2 x 37 e 701 é primo (não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23, e 26^2 = 676 < 701 < 27^2), logo não há fator comum e a fração 701/333 é irredutível. Passo 6: Conferência: 701/333 = 2,105105..., o que confirma a resposta. Por que as outras estão erradas: A) 421/200 = 2,105 exatamente, que é um decimal finito e não a dízima dada. B) 2105/999 não é igual a 2,105105...; o numerador deve incluir apenas a parte decimal periódica e a parte inteira precisa ser somada. C) 701/330 tem denominador errado, pois a dízima é simples e o denominador correto é 333, não 330. E) 233/111 vale cerca de 2,0991, que não corresponde a 2,105105...; além disso, o cálculo da parte decimal está incorreto.
💡 Dica: Identifique o período decimal e aplique a fórmula da fração geratriz.
Alternativa por alternativa
O aluno leu apenas os primeiros algarismos decimais e tratou 2,105105... como o número finito 2,105, sem reconhecer a repetição infinita do período 105.
O aluno usou o bloco 2105 como numerador sobre 999, misturando a parte inteira com a parte decimal e ignorando que a parte decimal deve ser somada à parte inteira.
Por que engana: Confundir a forma de representar a parte decimal periódica, resultando em uma fração incorreta.
O aluno errou o denominador, provavelmente confundindo a dízima simples com uma composta ou aplicando mal a regra dos noves; o resultado 330 não corresponde ao número de noves exigido pelo período 105.
Correta. Se x = 2,105105105..., então 1000x = 2105,105105...; subtraindo, 999x = 2103, logo x = 2103/999 = 701/333.
O aluno errou o cálculo da parte decimal, obtendo um valor próximo de 0,0991 em vez de 35/333 (ou 105/999), e por isso chegou a uma fração que vale aproximadamente 2,099.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
fração geratriz · números decimais periódicos
Revisar como transformar números decimais periódicos em frações irredutíveis.
Confundir a forma de representar a parte decimal periódica, resultando em uma fração incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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