Calcule a fração geratriz, na forma irredutível, de 2,0565656..., em que o bloco 56 se repete após o algarismo…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Calcule a fração geratriz, na forma irredutível, de 2,0565656..., em que o bloco 56 se repete após o algarismo 0.
- A) 2054/999
- B) 1018/495
- C) 1027/495
- D) 254/99
- E) 1028/495
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame o número de x = 2,0565656... . Separe a parte inteira (2) da parte decimal, que é 0,0565656...
- Trate a parte decimal como y = 0,0565656... . Como o 0 aparece antes do bloco que se repete, multiplique por 100 para deixar o bloco 56 logo após a vírgula: 100y = 5,6565656..., e 100y - y = 5,6565656... - 0,0565656... = 5,6 (ou seja, 100y = 5,6 + y).
- Uma forma mais direta é multiplicar x por 10 para mover a vírgula uma casa, deixando o 0 antes do bloco: 10x = 20,565656... Chame z = 0,565656... . Como z é uma dízima periódica simples de período 56, z = 56/99.
- Então 10x = 20 + 56/99 = (1980 + 56)/99 = 2036/99. Logo x = 2036/990.
- Simplifique dividindo numerador e denominador por 2: x = 1018/495.
- Verifique a irredutibilidade. 495 = 3^2 x 5 x 11 e 1018 = 2 x 509. O número 509 não é divisível por 3 (soma dos algarismos 14), nem por 5, nem por 11 (1 - 0 + 1 - 8... alternando sinais dá -6). Logo 1018/495 é irredutível.
- Conclusão: a alternativa correta é a B, 1018/495, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 2054/999 usa o denominador 999, ignorando que o 0 não periódico exige o fator 10 e resultando em outro valor. C) 1027/495 tem erro de soma, pois 2 x 495 + 28 = 1018, não 1027. D) 254/99 lê o número como 2,5656..., ignorando o 0 que vem antes do bloco repetido. E) 1028/495 difere de 1018/495 por um erro na soma do numerador.
💡 Dica: Identifique a parte periódica e aplique a fórmula da fração geratriz para números decimais periódicos mistos.
Alternativa por alternativa
Tratou 0,0565656... como 56/999, como se a parte decimal fosse periódica pura com período 56 e o zero inicial não alterasse nada. Não percebeu que a multiplicação por 10 para deslocar o zero exige denominador 990 e não 999.
Correta: a parte decimal é 0,0565656..., com anteperíodo 0 e período 56. Assim, a fração da parte decimal é (056 - 0)/990 = 56/990 = 28/495. Somando 2, obtém-se 2 + 28/495 = 1018/495.
Acertou a fração da parte decimal (56/990 = 28/495), mas errou a soma com a parte inteira 2: 2 x 495 = 990 mais 28 dá 1018, e o aluno escreveu 1027.
Por que engana: Confundir a parte inteira e a parte decimal ao calcular a fração geratriz, resultando em um erro na simplificação.
Leu o número como 2,5656..., deslocando o zero para o lugar errado da parte decimal. Assim obteve 2 + 56/99 = 254/99, ignorando que o algarismo 0 vem antes do bloco 56.
Errou o numerador na soma final (com denominador 495 o numerador deveria ser 1018, não 1028), provavelmente por descuido ao somar 2 x 495 = 990 com 28 ou ao converter 2 para a forma com denominador 495.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
fração geratriz · números decimais periódicos
Revisar números decimais periódicos e como encontrar fração geratriz.
Confundir a parte inteira e a parte decimal ao calcular a fração geratriz, resultando em um erro na simplificação.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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