Determine a fração geratriz irredutível do número 5,7\overline{04}.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz irredutível do número 5,7\overline{04}.
- A) A fração geratriz irredutível é 5699/999.
- B) A fração geratriz irredutível é 713/125.
- C) A fração geratriz irredutível é 5647/990.
- D) A fração geratriz irredutível é 5647/99.
- E) A fração geratriz irredutível é 5704/999.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique a parte de cada algarismo. O número 5,7 0404... tem parte inteira 5, a parte não periódica 7 e 0 (que vem antes do período), e o período 04 que se repete infinitamente. Ou seja, 5,7\overline{04} = 5,7040404...
- Separe o número em duas partes: 5,7 mais a parte repetida que começa na terceira casa decimal. Assim, 5,7\overline{04} = 5,7 + 0,00\overline{04}.
- Calcule 5,7 como fração: 5,7 = 57/10 = 5643/990.
- Calcule 0,00\overline{04}. Sabemos que 0,\overline{04} = 4/99. Como o período começa na terceira casa decimal, divide-se por 100 e não por 10 na parte repetida; logo 0,00\overline{04} = 4/9900. Atenção: como 0,00404... = 0,0404... dividido por 10, então 0,00\overline{04} = 4/990 (conferindo: 0,0404... = 4/99 e dividindo por 10 obtém-se 4/990).
- Some as frações: 5643/990 + 4/990 = 5647/990.
- Verifique se é irredutível. 990 = 2 x 3^2 x 5 x 11. O numerador 5647 é ímpar, a soma de seus algarismos (22) não é múltiplo de 3, não termina em 0 ou 5, e 5647 dividido por 11 deixa resto 4. Logo não há fatores comuns e a fração 5647/990 é irredutível.
- Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque corresponde a 5,\overline{704}, em que o período seria 704. A alternativa B está errada porque 713/125 é 5,704 exato, ignorando a barra de repetição. A alternativa D está errada porque o denominador 99 desconsidera a parte não periódica 7. A alternativa E está errada porque 5704/999 não subtrai a parte não periódica e usa o período de forma incorreta.
💡 Dica: Converta o número decimal periódico em fração usando a fórmula para frações geratrizes.
Alternativa por alternativa
Interpretou a barra como cobrindo o bloco 704, ou seja, tomou o número como 5,\overline{704} e ignorou o 7 que não se repete.
Tratou 5,704 como decimal exato e ignorou completamente a barra de repetição, convertendo apenas o número finito.
Correto. Se x = 5,7\overline{04}, então 10x = 57,\overline{04} e 1000x = 5704,\overline{04}. Subtraindo, 990x = 5647, logo x = 5647/990.
Converteu corretamente a parte periódica, mas usou 99 como denominador e esqueceu que a parte não periódica exige multiplicar o denominador por 10, ou seja, 990.
Por que engana: Confundir a forma de conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em uma fração errada.
Usou o número 5704 sobre 999 como se o bloco 704 inteiro fosse o período, sem subtrair a parte não periódica e sem considerar a posição correta do período.
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
números decimais · frações
Revisar conversão de números decimais periódicos em frações irredutíveis.
Confundir a forma de conversão de números decimais periódicos em frações, resultando em uma fração errada.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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