Determine a fração geratriz da dízima periódica 5,4272727...
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz da dízima periódica 5,4272727...
- A) 5427/1000
- B) 5373/1000
- C) 597/110
- D) 5427/990
- E) 597/100
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Separe a parte inteira da parte decimal. O número é 5 + 0,4272727..., e o período da dízima é 27, que começa logo após o algarismo 4 (não periódico).
- Chame o número de x: x = 5,4272727...
- Para deslocar a parte não periódica (4) para antes da vírgula, multiplique por 10: 10x = 54,272727...
- Para deslocar um período completo (27) para antes da vírgula, multiplique por 1000 (dois algarismos no período, logo 10 elevado a 2 vezes 10 = 1000, ou seja, multiplique a equação original por 1000): 1000x = 5427,272727...
- Subtraia as equações para eliminar a parte decimal periódica: 1000x - 10x = 5427,2727... - 54,2727..., o que dá 990x = 5373.
- Isole x: x = 5373/990.
- Simplifique dividindo numerador e denominador por 9: 5373 dividido por 9 é 597 e 990 dividido por 9 é 110. Logo x = 597/110.
- Confira: 597/110 = 5 + 47/110 = 5 + 0,42727..., que confere com o número dado.
- Comparação com o gabarito: a alternativa C (597/110) está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 5427/1000 é a leitura direta dos algarismos como decimal exato, ignorando a repetição; B) 5373/1000 usa o numerador certo da subtração, mas com denominador 1000 em vez de 990; D) 5427/990 usa o numerador de 1000x sem fazer a subtração de 10x; E) 597/100 tem numerador certo após simplificação, mas denominador 100, que corresponde a 5,97 e não à dízima.
💡 Dica: Identifique a parte periódica e aplique a fórmula da fração geratriz.
Alternativa por alternativa
O aluno trata 5,4272727... como se fosse o decimal exato 5,4272727 e escreve tudo sobre 1000, ignorando que os algarismos 27 se repetem infinitamente.
O aluno calcula corretamente o numerador 5373 a partir da subtração, mas esquece que o denominador deve ser 990 (nove seguido de zero, ligado ao período 27 e à parte não periódica) e usa 1000.
Se x = 5,4272727..., então 1000x = 5427,272727... e 10x = 54,272727...; subtraindo, 990x = 5373, logo x = 597/110.
O aluno usa o denominador 990, correto para esse tipo de dízima, mas toma o numerador 5427 de 1000x e não efetua a subtração de 10x, esquecendo a etapa essencial do método.
Por que engana: Confundir a forma correta de representar a dízima periódica como fração, resultando em um numerador ou denominador incorretos.
O aluno confunde a fração geratriz com a leitura decimal do número: o denominador 100 corresponde a dois casas decimais, não ao período 27 com a parte não periódica, e 597/100 representa 5,97.
Raio-X da questão
fração geratriz, dízima periódica
avaliacao
dízima periódica · frações
Revisar conceito de dízima periódica e como encontrar sua fração geratriz.
Confundir a forma correta de representar a dízima periódica como fração, resultando em um numerador ou denominador incorretos.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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