Obtenha a fração geratriz irredutível de 0,0585858...
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Obtenha a fração geratriz irredutível de 0,0585858...
- A) 58/999
- B) 29/500
- C) 29/495
- D) 29/4950
- E) 58/99
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique as partes da dízima. Em 0,0585858..., o 0 e o 5 logo após a vírgula não se repetem (são o anteperíodo, com 2 algarismos), e a parte que se repete é o 58 (período, com 2 algarismos). Passo 2: Chame a dízima de x, de modo que x = 0,0585858... Passo 3: Multiplique por 10^2 = 100 para deslocar o anteperíodo: 100x = 5,8585858... Passo 4: Multiplique por 10^4 = 10000 para deslocar anteperíodo e um período completo: 10000x = 585,8585858... Passo 5: Subtraia as igualdades para eliminar a parte periódica: 10000x - 100x = 585,8585... - 5,8585... Isso dá 9900x = 580. Passo 6: Isole x: x = 580/9900. Passo 7: Simplifique dividindo numerador e denominador por 20: x = 29/495. Como 29 é primo e 495 = 3^2 x 5 x 11 não é múltiplo de 29, a fração 29/495 é irredutível. Passo 8: Comparando com as alternativas, a correta é a C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 58/999 trata a parte periódica como se tivesse 3 algarismos e ignora o anteperíodo. B) 29/500 é o valor de 0,058, um decimal finito, e não da dízima. D) 29/4950 é dez vezes menor que o valor correto. E) 58/99 é o valor de 0,5858..., pois ignora o anteperíodo 0,0.
💡 Dica: Transforme o número decimal periódico em fração e simplifique.
Alternativa por alternativa
Acredita que o denominador depende apenas da quantidade de algarismos repetidos e usa 999 para um período de três algarismos, mas o período aqui tem dois algarismos. Também ignora que o 0 e o 5 iniciais alteram o denominador.
Lê a dízima como se fosse um decimal exato, tomando 0,058 e ignorando que os algarismos 58 se repetem indefinidamente.
Por que engana: Confundir a forma de representar a parte decimal periódica, resultando em uma fração incorreta.
Correta: se x = 0,0585858..., então 10x = 0,585858... e 1000x = 58,585858.... Subtraindo, 1000x - 10x = 58, logo 990x = 58 e x = 58/990 = 29/495.
Faz o procedimento corretamente até 580/9900, mas erra ao simplificar ou ao contar as potências de 10, dividindo o valor por 10 a mais e obtendo 29/4950.
Considera apenas a parte que se repete, 0,5858..., e ignora o anteperíodo 0,0, o que fornece 58/99 em vez de 0,0585858...
Raio-X da questão
fração geratriz, número decimal periódico
avaliacao
fração geratriz · números decimais periódicos
Revisar como transformar números decimais periódicos em frações irredutíveis.
Confundir a forma de representar a parte decimal periódica, resultando em uma fração incorreta.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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