A dízima 0,123123123... corresponde a que fração geratriz na forma irredutível?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A dízima 0,123123123... corresponde a que fração geratriz na forma irredutível?
- A) 41/330
- B) 41/333
- C) 123/1000
- D) 41/99
- E) 41/111
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identificar a parte que se repete. Na dízima 0,123123123..., o bloco que se repete é 123, com três algarismos, e não há parte que não se repete logo após a vírgula. Trata-se de uma dízima periódica simples.
- Montar a equação. Chame a dízima de x, ou seja, x = 0,123123123... Como o período tem 3 algarismos, multiplique por 10^3 = 1000: 1000x = 123,123123...
- Subtrair as equações para eliminar a parte decimal repetida: 1000x - x = 123,123123... - 0,123123..., logo 999x = 123.
- Isolar x: x = 123/999.
- Simplificar. Dividindo numerador e denominador por 3, obtemos 41/333. Como 41 é primo e 333 = 3^2 x 37, não há mais fator comum, então a fração 41/333 é irredutível.
- Conferir com o gabarito. A alternativa correta é a B, 41/333, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 41/330 não é a geratriz, pois corresponde a outro número decimal, com parte não periódica. C) 123/1000 é apenas o bloco escrito sobre 1000, sem considerar a repetição infinita. D) 41/99 gera 0,414141..., com período de dois algarismos. E) 41/111 gera 0,369369..., que não corresponde à dízima dada.
💡 Dica: Represente a dízima periódica como uma fração e simplifique-a.
Alternativa por alternativa
Provavelmente tentou usar uma dízima com parte não periódica ou dividiu 123 por um denominador arbitrário, obtendo um número que começa como 0,12 mas não repete o bloco 123.
Correta. Se x = 0,123123123..., então 1000x = 123,123123123...; subtraindo, 999x = 123, logo x = 123/999 = 41/333.
Escreveu o bloco 123 sobre 1000 apenas porque há três algarismos decimais, ignorando que a sequência se repete infinitamente e que a geratriz precisa considerar essa repetição.
Por que engana: O aluno pode tratar 0,123123123... como decimal finito e escolher 123/1000, sem considerar que o bloco 123 se repete indefinidamente.
Confundiu o tamanho do período: usou 99, que corresponde a período de dois algarismos, em vez de 999, que corresponde a período de três algarismos. Assim, gerou 0,4141..., e não a dízima dada.
Usou 111 no denominador, como se houvesse apenas um nove a menos, ou dividiu pelo número 111 sem simplificar corretamente a partir de 999. A fração resultante não reproduz 0,123123...
Raio-X da questão
fração geratriz de dízima periódica
avaliacao
frações equivalentes e simplificação · períodos em dízimas periódicas
Revise como converter dízimas periódicas simples em frações geratrizes irredutíveis.
O aluno pode tratar 0,123123123... como decimal finito e escolher 123/1000, sem considerar que o bloco 123 se repete indefinidamente.
tomada_decisao
abstrato
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