Qual é o denominador da fração geratriz irredutível de 0,12222..., em que o algarismo 2 se repete a partir da…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Qual é o denominador da fração geratriz irredutível de 0,12222..., em que o algarismo 2 se repete a partir da segunda casa decimal?
- A) O denominador é 100.
- B) O denominador é 11.
- C) O denominador é 90.
- D) O denominador é 99.
- E) O denominador é 9.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Chame a dízima de x, so que aqui x = 0,12222... Os dígitos 1 e 2 aparecem nas casas decimais, mas a repetição do 2 começa só na segunda casa decimal, então é uma dízima periódica composta. Passo 2: Multiplique por 10 para deslocar a parte não periódica para antes da vírgula: 10x = 1,22222... Passo 3: Multiplique por 100 para deslocar duas casas: 100x = 12,22222... Passo 4: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte periódica: 100x - 10x = 12,22222... - 1,22222..., resultando em 90x = 11. Passo 5: Isole x: x = 11/90. Passo 6: Verifique se a fração é irredutível. 11 é primo e não divide 90 (90 = 2 x 3^2 x 5), logo 11/90 é irredutível e o denominador é 90. Passo 7: Comparação com o gabarito oficial: o gabarito C está correto e coincide com a resolução. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A) 100 não é o denominador, pois a parte repetida não foi considerada; B) 11 é o numerador da fração, não o denominador; D) 99 corresponde a uma dízima periódica simples de período 2, o que não é o caso aqui; E) 9 corresponde apenas à parte periódica 0,2222... = 2/9, ignorando a parte 0,1 que não se repete.
💡 Dica: Separe a parte não periódica da periódica e simplifique a fração geratriz.
Alternativa por alternativa
O aluno trata 0,12222... como se fosse 0,12, ou seja, 12/100, ignorando que o 2 se repete indefinidamente e que a fração precisa incorporar essa repetição.
O aluno calcula corretamente o numerador 11 da fração 11/90, mas toma esse número como denominador, confundindo numerador e denominador.
Correta. Se x = 0,12222..., então 10x = 1,2222... e 100x = 12,2222.... Subtraindo, 90x = 11, logo x = 11/90. O denominador é 90.
O aluno aplica a regra de dízima periódica simples, usando 99 como denominador, como se a repetição fosse de um bloco de dois algarismos ou como se todas as casas decimais fossem periódicas desde o início.
Por que engana: Pode-se confundir o número de algarismos do período com o da parte não periódica e montar incorretamente a fração, ou esquecer de simplificá-la.
O aluno considera apenas a parte periódica 0,2222... = 2/9 e esquece que o algarismo 1 da primeira casa decimal não se repete, deixando de incluir o termo 1/10 na fração.
Raio-X da questão
Dízima periódica composta
avaliacao
Frações equivalentes e simplificação · Representação decimal periódica
Revise a conversão de dízimas periódicas compostas em frações geratrizes irredutíveis.
Pode-se confundir o número de algarismos do período com o da parte não periódica e montar incorretamente a fração, ou esquecer de simplificá-la.
tomada_decisao
abstrato
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