Determine a fração geratriz irredutível de 1,\overline{2}.
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Determine a fração geratriz irredutível de 1,\overline{2}.
- A) \frac{6}{5}
- B) \frac{11}{9}
- C) \frac{2}{9}
- D) \frac{4}{3}
- E) \frac{10}{9}
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame o número de x, de modo que x = 1,2222... (a barra indica que o algarismo 2 se repete infinitamente). Passo 2: Como há um algarismo antes do período (o 1 da parte inteira não se repete, mas o 2 após a vírgula é periódico), multiplique por 10 para deslocar a vírgula uma casa: 10x = 12,2222... Passo 3: Multiplique x por 100 para deslocar a vírgula duas casas, sempre até o período começar logo após a vírgula: 100x = 122,2222... Passo 4: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte decimal infinita: 100x - 10x = 122,2222... - 12,2222..., ou seja, 90x = 110. Passo 5: Isole x: x = 110/90. Simplifique dividindo por 10: x = 11/9. Passo 6: Verifique a irredutibilidade: 11 é primo e não divide 9, logo mdc(11, 9) = 1 e a fração 11/9 já é irredutível. Passo 7: Confira pela soma: 1 + 2/9 = 9/9 + 2/9 = 11/9. Por que as outras estão erradas: A) 6/5 vale 1,2 exato e ignora a barra do período; C) 2/9 é só a parte 0,2222..., sem a parte inteira 1; D) 4/3 é 12/9, que não subtrai o algarismo que não se repete; E) 10/9 sai de 12 - 2 = 10, subtraindo o algarismo errado. O gabarito oficial B está correto.
💡 Dica: Represente a dízima por uma variável e multiplique por 10 para eliminar o período decimal.
Alternativa por alternativa
Tratou 1,2 como decimal exato, ignorando a barra do período, e escreveu 12/10 = 6/5.
Seja x = 1,\overline{2}. Então 10x = 12,\overline{2}. Subtraindo, 10x - x = 12,\overline{2} - 1,\overline{2} = 11. Logo, 9x = 11 e x = \frac{11}{9}.
Considerou apenas a parte decimal periódica 0,2222... = 2/9 e esqueceu o algarismo 1 da parte inteira.
Montou a fração com a sequência de dígitos 12 sobre 9 sem subtrair o algarismo que não se repete (o 1), chegando a 12/9 = 4/3.
Na subtração do método algébrico, subtraiu 2 em vez de 1 (12 - 2 = 10), usando o algarismo periódico no lugar do algarismo que antecede o período.
Por que engana: Pode confundir o período com o número decimal completo ou aplicar incorretamente a regra de conversão, obtendo uma fração que não representa 1,\overline{2}.
Raio-X da questão
fração geratriz de dízima periódica
fixacao
frações equivalentes e simplificação · notação decimal periódica
Revise como converter dízimas periódicas simples em frações irredutíveis.
Pode confundir o período com o número decimal completo ou aplicar incorretamente a regra de conversão, obtendo uma fração que não representa 1,\overline{2}.
tomada_decisao
abstrato
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