Escreva a fração geratriz, na forma irredutível, da dízima periódica 0,05858585...
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Escreva a fração geratriz, na forma irredutível, da dízima periódica 0,05858585...
- A) 58/999
- B) 29/495
- C) 58/9900
- D) 29/500
- E) 585/9990
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Seja x = 0,05858585... Note que a parte não periódica é '0' e a parte periódica é '58', que começa na segunda casa decimal. Passo 2: Multiplique por 10 para deixar apenas a parte periódica depois da vírgula: 10x = 0,5858585... Passo 3: Multiplique por 1000 para deslocar exatamente um período: 1000x = 58,5858585... Passo 4: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte decimal periódica: 1000x - 10x = 58,5858... - 0,5858... , logo 990x = 58. Passo 5: Isole x: x = 58/990. Passo 6: Simplifique dividindo numerador e denominador por 2: x = 29/495. Como 29 é primo e 495 = 5 x 3^2 x 11, não há fator comum, então a fração 29/495 é irredutível. Passo 7: Conferência: 29/495 é aproximadamente 0,058585..., o que confirma o resultado. Por que as outras estão erradas: A) 58/999 corresponderia a uma dízima de período 058, e não de período 58 começando logo após a vírgula. B) 29/495 é a resposta correta. C) 58/9900 é dez vezes menor que o valor correto, pois o erro está na posição da parte não periódica. D) 29/500 = 0,058 exato, ignorando que os algarismos 58 se repetem indefinidamente. E) 585/9990 não é igual a 0,05858..., pois usa os algarismos 585 como se fossem o período, o que está errado.
💡 Dica: Separe a parte não periódica do período e simplifique a fração obtida.
Alternativa por alternativa
O aluno trata o período como se tivesse três algarismos (058) e usa o denominador 999, ignorando que o período real é 58 e que existe uma casa não periódica antes dele.
Por que engana: O aluno pode tratar todos os algarismos decimais como período, ignorando que o primeiro algarismo após a vírgula não se repete, ou deixar de simplificar a fração.
Correta. Se x = 0,05858585..., então 1000x = 58,58585... e 10x = 0,58585.... Subtraindo, 990x = 58, logo x = 58/990 = 29/495.
O aluno aplica corretamente a ideia de denominador 99 e 990 mas erra a posição da vírgula, dividindo por 9900 e obtendo um valor dez vezes menor que o real.
O aluno interpreta 0,05858... como se fosse um decimal exato, desprezando a repetição infinita dos algarismos 58 e transformando o número em 0,058.
O aluno lê mal a dízima e toma os algarismos 585 como o período, montando a fração com 585 no numerador e 9990 no denominador, sem verificar a equivalência.
Raio-X da questão
fração geratriz de dízima periódica
avaliacao
operações com frações · notação decimal periódica
Revise a conversão de dízimas periódicas compostas em frações e a simplificação de frações.
O aluno pode tratar todos os algarismos decimais como período, ignorando que o primeiro algarismo após a vírgula não se repete, ou deixar de simplificar a fração.
tomada_decisao
abstrato
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