Determine a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,3(27).

Questão

Determine a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,3(27).

1. A) 3/10, pois basta considerar apenas a parte não periódica 0,3.
2. B) 327/999, tratando 0,3(27) como se toda a parte decimal fosse um período completo.
3. C) 18/55, obtida ao escrever x = 0,3272727... e eliminar a parte não periódica e a periódica por meio de multiplicações por potências de 10.
4. D) 3/11, porque a fração geratriz do bloco 27 é 27/99, que se simplifica para 3/11.
5. E) 327/1000, escrevendo 0,3272727... como se fosse um decimal exato com três casas.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique as partes da dízima 0,3(27). O 3 é a parte não periódica (antes do período) e o 27 é o período, que se repete infinitamente: 0,3272727... Passo 2: Chame o número de x = 0,3272727... Passo 3: Para deslocar apenas o período, multiplique por 10 para obter 10x = 3,2727... (uma casa, que leva o 3 para antes da vírgula). Passo 4: Multiplique por 1000 para obter 1000x = 327,2727... (três casas, que coloca um período completo antes da vírgula). Passo 5: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte decimal periódica: 1000x - 10x = 327,2727... - 3,2727..., resultando em 990x = 324. Passo 6: Isole x: x = 324/990. Passo 7: Simplifique dividindo numerador e denominador por 18: 324/18 = 18 e 990/18 = 55, logo x = 18/55. Passo 8: Verifique a irredutibilidade: 18 = 2 x 3^2 e 55 = 5 x 11 não têm fatores em comum, então 18/55 é irredutível. Conclusão: a alternativa C está correta, e coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A ignora completamente a parte periódica 27; B confunde o período, tratando 327 como se fosse o período; D calcula corretamente a fração de 0,(27) = 27/99 = 3/11, mas esquece que existe um 3 não periódica antes do período; E trata a dízima como se fosse um decimal exato com três casas, o que não corresponde ao número dado.

💡 Dica: Converta a dízima periódica em fração usando a fórmula da fração geratriz.

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Raio-X da questão

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