Em uma atividade de modelagem, uma equipe registrou, para diferentes valores de x, os valores correspondentes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma atividade de modelagem, uma equipe registrou, para diferentes valores de x, os valores correspondentes de y em um experimento. Os dados obtidos foram: x = -2, y = 8; x = -1, y = 2; x = 0, y = 0; x = 1, y = 2; x = 2, y = 8. A equipe deseja verificar se esses pontos podem ser descritos por uma função quadrática do tipo y = ax². Com base nos dados do experimento, ao representar os pontos no plano cartesiano, é correto afirmar que eles pertencem a uma função da forma y = ax² cuja expressão algébrica é
- A) Sim; y = 2x².
- B) Não; os pontos não formam essa função.
- C) Sim; y = 4x².
- D) Sim; y = x².
- E) Sim; y = 2x.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Queremos saber se os pontos satisfazem y = a·x^2 para algum valor constante de a. Para isso, basta calcular a = y / x^2 em cada ponto com x diferente de zero. Passo 2: Com x = -2 e y = 8, temos x^2 = 4, logo a = 8 / 4 = 2. Passo 3: Com x = -1 e y = 2, temos x^2 = 1, logo a = 2 / 1 = 2. Passo 4: Com x = 1 e y = 2, temos x^2 = 1, logo a = 2. Passo 5: Com x = 2 e y = 8, temos x^2 = 4, logo a = 8 / 4 = 2. Passo 6: No ponto x = 0, y = 0, e 0 = a·0^2 para qualquer a, o que é consistente com o mesmo valor a = 2. Passo 7: Como o mesmo valor a = 2 aparece em todos os pontos, os dados podem ser descritos por y = 2x^2, e a resposta é Sim; y = 2x^2, alternativa A. Passo 8: A alternativa B está errada, pois os pontos satisfazem exatamente a função y = 2x^2. A alternativa C está errada, pois y = 4x^2 daria y = 16 quando x = -2, e não 8. A alternativa D está errada, pois y = x^2 daria y = 1 quando x = -1, e não 2. A alternativa E está errada, pois y = 2x não é quadrática e daria y = -4 quando x = -2, e não 8.
💡 Dica: Verifique se os pontos formam uma parábola e encontre a equação.
Alternativa por alternativa
Para uma função da forma y = ax², basta usar um dos pontos com x diferente de zero. Pelo ponto (1, 2), temos 2 = a · 1², portanto a = 2. Assim, a função é y = 2x². Verificando os demais pontos: para x = −2, y = 2 · 4 = 8; para x = −1, y = 2; para x = 0, y = 0; e para x = 2, y = 8. Logo, todos os pontos pertencem à função.
O aluno concluiu que os pontos não seguem nenhuma função do tipo y = ax^2 porque não percebeu que a mesma constante a serve para todos os pontos. Pode ter testado apenas um ponto ou se confundido com a presença de y diferente de x^2 em todos os casos.
O aluno calculou a constante usando y = 4x^2 talvez por confundir o quadrado de 2 com o dobro, ou por tomar x^2 = 4 como fator multiplicativo ao invés de dividir y por x^2. Assim, aplicou o valor de x sem conferir a imagem correspondente.
Por que engana: O aluno pode confundir a forma da função quadrática com uma função linear, escolhendo uma alternativa que não representa a relação correta entre os pontos.
O aluno supôs que a constante a deveria ser 1 por associar a forma y = ax^2 diretamente a y = x^2, sem calcular a a partir dos dados. Não verificou que, por exemplo, para x = -1 e y = 2, o coeficiente é 2.
O aluno confundiu a expressão quadrática y = ax^2 com uma função linear y = ax, provavelmente ao observar que os valores de y crescem de forma proporcional. Não percebeu que o expoente 2 em x exige que y dependa do quadrado de x, como os pares simétricos (-2, 8) e (2, 8) mostram.
Raio-X da questão
função quadrática
avaliacao
função quadrática · representação gráfica
Revisar as características das funções quadráticas e suas representações gráficas.
O aluno pode confundir a forma da função quadrática com uma função linear, escolhendo uma alternativa que não representa a relação correta entre os pontos.
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cientifico
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