Em um estudo sobre o consumo energético de um equipamento, os pesquisadores registraram a relação entre uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar relações entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificando padrões e criando conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um estudo sobre o consumo energético de um equipamento, os pesquisadores registraram a relação entre uma variável de operação x e o consumo y. A tabela parcial apresentou os pares (1,5; 4,5) e (3; 18). Para analisar os dados, foi proposto o modelo matemático y = ax², em que a é uma constante positiva. Considerando os dois registros e o modelo proposto, qual alternativa determina corretamente o valor de a e avalia a suficiência desses dados para confirmar o modelo?
- A) a = 9; os dois pontos são incompatíveis com o modelo, pois o segundo registro não determina uma constante.
- B) a = 3; os dois pontos são compatíveis com o modelo, mas não bastam para confirmá-lo, pois são necessários outros dados.
- C) a = 6; os dois pontos são compatíveis com o modelo e confirmam sua validade para qualquer valor de x.
- D) a = 4; os dois pontos são incompatíveis com o modelo, pois fornecem constantes diferentes.
- E) a = 2; os dois pontos são compatíveis com o modelo, mas não bastam para confirmá-lo, pois são necessários outros dados.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- O modelo é y = a x^2, com a constante positiva. Para cada registro, isola-se a: a = y / x^2. Passo 2: No primeiro registro, x = 1,5, logo x^2 = 2,25, e a = 4,5 / 2,25 = 2. Passo 3: No segundo registro, x = 3, logo x^2 = 9, e a = 18 / 9 = 2. Passo 4: Os dois registros dão o mesmo valor, a = 2, portanto são compatíveis com o modelo y = 2x^2. Passo 5: Porém, o modelo tem uma única constante, e dois pontos bastam para calculá-la, mas não para confirmar que a relação vale para todos os valores de x. Para confirmar o modelo seriam necessários mais registros, que testem se a mesma constante se mantém em outros valores da variável de operação. Passo 6: Por isso a alternativa E é a correta, e o gabarito oficial está certo. Passo 7: A alternativa A está errada, pois os dois pontos são compatíveis e o segundo registro determina a constante a = 2, não a = 9. A alternativa B está errada porque a = 3 vem de 4,5 / 1,5, que divide y por x em vez de por x^2. A alternativa C está errada porque a = 6 vem de 18 / 3, que também divide por x, e porque dois pontos nunca confirmam o modelo para qualquer x. A alternativa D está errada porque os dois pontos são compatíveis e a constante é 2 nos dois casos.
💡 Dica: Calcule a constante a usando os pontos dados e analise a adequação do modelo.
Alternativa por alternativa
O aluno tomou x^2 = 9 do segundo registro como sendo a constante a, em vez de calcular a = 18 / 9. Concluiu então que os dados são incompatíveis, quando na verdade a constante é igual nos dois pontos.
O aluno calculou a = 4,5 / 1,5 = 3, dividindo y por x em vez de por x^2. Por isso o valor de a fica errado, embora a conclusão sobre a insuficiência dos dados esteja correta.
Por que engana: O aluno pode confundir a relação entre os pontos e a necessidade de mais dados para validar o modelo, acreditando que apenas dois pontos são suficientes para confirmar a função quadrática.
O aluno obteve a = 18 / 3 = 6, dividindo y por x em vez de por x^2. Além disso, acredita que dois pontos compatíveis confirmam o modelo para qualquer valor de x, o que não é verdade.
O aluno misturou os valores ao calcular uma razão entre y e x sem o quadrado, como 18 / 4,5 = 4. Assim, julgou que as constantes são diferentes e que os dados são incompatíveis, quando os dois registros dão a = 2.
Substituindo o ponto (1,5; 4,5) no modelo, obtém-se 4,5 = a · (1,5)², ou seja, 4,5 = 2,25a e a = 2. Com o ponto (3; 18), tem-se 18 = a · 3² = 9a, resultando novamente em a = 2. Portanto, os dois pontos são compatíveis com o modelo. Entretanto, a coincidência não confirma que o modelo seja válido para toda a situação; é necessário analisar outros dados.
Raio-X da questão
modelo quadrático
avaliacao
função quadrática · sistemas de equações
Revisar como determinar constantes em modelos matemáticos.
O aluno pode confundir a relação entre os pontos e a necessidade de mais dados para validar o modelo, acreditando que apenas dois pontos são suficientes para confirmar a função quadrática.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
Questões parecidas com resolução
- Em uma atividade de modelagem, estudantes analisaram uma grandeza y que depende de uma medida x. Os resultados…
- Considere os pares (x, y): (1, 5), (2, 20), (3, 45). Supondo que y = ax², qual é o valor de y quando x = 4? — Considere…
- Em uma atividade de modelagem, uma equipe registrou, para diferentes valores de x, os valores correspondentes de y em um…
- Para uma aula, um professor criou um mostrador fictício com um ponteiro e duas escalas paralelas. Na escala inferior…
- Dados ilustrativos: um estudante registrou o número de horas dedicadas ao estudo de Matemática em um aplicativo e a…
- A tabela contém os pares (x,y): (-3,45), (-1,5), (0,0), (2,20). A partir desses dados, escreva a expressão algébrica y =…
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog