Em um projeto de organização de arquivos, uma equipe representa as pastas por uma árvore binária perfeita…

Questão

Em um projeto de organização de arquivos, uma equipe representa as pastas por uma árvore binária perfeita. Nesse modelo, a pasta inicial ocupa o nível 0; cada pasta de um nível, exceto o último, possui exatamente dois subpastas, e todas as folhas estão no mesmo nível h. Assim, o nível 0 tem 1 nó, o nível 1 tem 2 nós, o nível 2 tem 4 nós, e esse padrão se mantém até o nível h. Com base no modelo descrito, qual expressão representa o número total de nós da árvore em função da altura h?

1. A) 2^h
2. B) 2^h - 1
3. C) h^2
4. D) 2^(h+1) - 1
5. E) 2^(h+1)

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique o padrão. O nível k tem 2^k nós, pois o número de nós dobra a cada nível (nível 0: 1 = 2^0; nível 1: 2 = 2^1; nível 2: 4 = 2^2). Passo 2: Some os nós de todos os níveis, do nível 0 até o nível h: total = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^h. Passo 3: Essa é a soma de uma progressão geométrica de razão 2, cujo resultado é 2^(h+1) - 1. Verificação com h = 2: 1 + 2 + 4 = 7 e 2^3 - 1 = 7. Passo 4: Logo, a alternativa correta é a D, 2^(h+1) - 1, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: a A (2^h) conta apenas o número de nós do último nível, e não o total; a B (2^h - 1) não corresponde à soma, pois para h = 2 daria 3 e não 7; a C (h^2) cresce de forma polinomial e não exponencial, dando 4 para h = 2; a E (2^(h+1)) é a soma sem subtrair 1, o que daria 8 para h = 2, um nó a mais que a árvore possui.

💡 Dica: Lembre-se da fórmula para o número de nós em uma árvore binária completa.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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