Em um estudo sobre o lançamento de um foguete a partir da superfície terrestre, os pesquisadores consideram…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um estudo sobre o lançamento de um foguete a partir da superfície terrestre, os pesquisadores consideram desprezível a resistência do ar e utilizam a conservação da energia mecânica. Para que um corpo de massa m escape do campo gravitacional de um planeta, sua energia cinética inicial deve compensar o trabalho necessário para levá-lo da superfície, de raio R, até uma distância muito grande. Assim, parte-se de (1/2)mv_e² = GMm/R. Na superfície, a aceleração da gravidade é dada por g = GM/R². Considere R = 6,4 × 106 m e g = 10 m/s². Com base no texto e nos dados fornecidos, qual expressão para a velocidade de escape e qual valor aproximado devem ser usados no estudo do lançamento do foguete?
- A) v_e = √(gR) = 8,00 × 10³ m/s.
- B) v_e = √(2g/R) = 1,77 × 10⁻³ m/s.
- C) v_e = 2gR = 1,28 × 10⁸ m/s.
- D) v_e = √(2gR) = 1,13 × 10⁴ m/s.
- E) v_e = √(gR/2) = 5,66 × 10³ m/s.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Igualando a energia cinética à energia potencial gravitacional necessária para escapar, temos (1/2)mv_e² = GMm/R. Cancelando m e multiplicando por 2, fica v_e² = 2GM/R.
- O enunciado dá g = GM/R², logo GM = gR². Substituindo, v_e² = 2gR²/R = 2gR, e portanto v_e = raiz de (2gR).
- Com g = 10 m/s² e R = 6,4 × 10^6 m, temos 2gR = 2 × 10 × 6,4 × 10^6 = 1,28 × 10^8 m²/s².
- Extraindo a raiz, v_e = raiz de 1,28 × 10^8 = 1,13 × 10^4 m/s, que é o valor da alternativa D.
- A alternativa A está errada porque esquece o fator 2 da energia cinética (usa v² = gR). A alternativa B está errada porque coloca R no denominador, o que dá unidades incoerentes com velocidade. A alternativa C está errada porque não extrai a raiz quadrada, e 2gR é um quadrado de velocidade, não uma velocidade. A alternativa E está errada porque divide por 2 dentro da raiz, quando o correto é multiplicar por 2.
- Conclusão: a expressão correta é v_e = raiz de (2gR) ≈ 1,13 × 10^4 m/s, em concordância com o gabarito oficial D.
💡 Dica: Utilize a relação dada para derivar a fórmula da velocidade de escape.
Alternativa por alternativa
O aluno obtém v² = gR, esquecendo o fator 2 que vem do termo (1/2)mv² da energia cinética.
O aluno inverte a relação entre g e R, colocando R no denominador e escrevendo 2g/R, o que não corresponde à dedução da velocidade de escape.
O aluno calcula corretamente 2gR = 1,28 × 10^8, mas esquece de extrair a raiz quadrada, confundindo a grandeza v² com a própria velocidade.
Por que engana: O aluno pode confundir a fórmula da velocidade de escape com a fórmula da força gravitacional, resultando em um cálculo incorreto.
Igualando a energia cinética inicial ao trabalho gravitacional, obtém-se (1/2)mv_e² = GMm/R. Após cancelar m e substituir GM por gR², resulta v_e² = 2gR e, portanto, v_e = √(2gR). Com os dados do enunciado: v_e = √(2 · 10 · 6,4 × 10⁶) = √(1,28 × 10⁸) ≈ 1,13 × 10⁴ m/s.
O aluno escreve gR/2 dentro da raiz, invertendo o fator 2 (divide em vez de multiplicar), o que leva a um valor menor que o correto.
Raio-X da questão
velocidade de escape
avaliacao
velocidade de escape · lei da gravitação universal
Revisar a relação entre gravidade e velocidade de escape.
O aluno pode confundir a fórmula da velocidade de escape com a fórmula da força gravitacional, resultando em um cálculo incorreto.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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