De uma gaveta com 5 meias pretas e 7 meias brancas retiram-se ao acaso duas meias, sem reposição. Seja A = 'a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
De uma gaveta com 5 meias pretas e 7 meias brancas retiram-se ao acaso duas meias, sem reposição. Seja A = 'a primeira meia é preta' e B = 'as duas meias são pretas'. Determine se A e B são dependentes e calcule P(A), P(B) e P(AnB).
- A) Dependentes; P(A) = 5/12, P(B) = 5/24, P(A∩B) = 5/24.
- B) Independentes; P(A) = 5/12, P(B) = 25/144, P(A∩B) = 25/144.
- C) Dependentes; P(A) = 5/12, P(B) = 5/33, P(A∩B) = 25/396.
- D) Dependentes; P(A) = 5/12, P(B) = 5/33, P(A∩B) = 5/33.
- E) Independentes; P(A) = 5/12, P(B) = 5/33, P(A∩B) = 5/33.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. A gaveta tem 5 meias pretas e 7 meias brancas, total de 12 meias. Sao retiradas duas meias, sem reposicao. Passo 2: Calcule P(A), a probabilidade de a primeira meia ser preta. Sao 5 pretas em 12 meias, logo P(A) = 5/12. Passo 3: Calcule P(B), a probabilidade de as duas serem pretas. Na primeira retirada a chance e 5/12; depois, restam 4 pretas em 11 meias, logo P(B) = 5/12 * 4/11 = 20/132 = 5/33. Passo 4: Calcule P(A∩B). O evento 'as duas meias sao pretas' ja implica que a primeira e preta, entao A∩B = B e P(A∩B) = 5/33. Passo 5: Verifique a dependencia. Se fossem independentes, P(A∩B) seria igual a P(A)*P(B) = 5/12 * 5/33 = 25/396, que e diferente de 5/33. Como P(A∩B) != P(A)*P(B), os eventos sao dependentes, porque a primeira retirada altera a composicao da gaveta. Passo 6: Conclusao. A alternativa D, com dependentes, P(A) = 5/12, P(B) = 5/33 e P(A∩B) = 5/33, esta correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A esta errada porque usa P(B) = 5/24, que ignora a mudanca no total de meias. A alternativa B esta errada porque considera independencia, como se houvesse reposicao. A alternativa C esta errada porque calcula P(A∩B) como produto de probabilidades de eventos dependentes. A alternativa E esta errada porque afirma independencia, o que contradiz a verificacao do passo 5.
💡 Dica: Calcule as probabilidades considerando que a retirada é sem reposição e compare P(A∩B) com P(A)P(B).
Alternativa por alternativa
Calculou P(B) como 5/12 vezes 1/2, supondo que a segunda retirada tem probabilidade fixa de 1/2 de ser preta. Ignorou que, sem reposicao, restam 11 meias e apenas 4 pretas.
Tratou as retiradas como independentes, como se a meia fosse devolvida a gaveta, e multiplicou 5/12 por 5/12. Confundiu o caso sem reposicao com o caso com reposicao.
Por que engana: Tratar as retiradas como independentes, mantendo o total de meias e a quantidade de meias pretas inalterados após a primeira retirada.
Calculou P(B) corretamente, mas depois multiplicou P(A) por P(B) para obter P(A∩B). Esse produto so vale para eventos independentes, e aqui A∩B e igual a B.
P(A) = 5/12. P(B) = (5/12)·(4/11) = 5/33. Como B implica A, P(A∩B) = P(B) = 5/33. P(A)·P(B) = 25/396 ≠ 5/33; logo, A e B são dependentes.
Concluiu que os eventos sao independentes, achando que a cor da primeira meia nao muda a probabilidade de a segunda ser preta. Nao percebeu que a retirada sem reposicao altera a composicao da gaveta.
Raio-X da questão
Probabilidade de eventos dependentes
avaliacao
Probabilidade de eventos simples · Multiplicação de probabilidades condicionais
Revise probabilidade em retiradas sem reposição e o critério de independência entre eventos.
Tratar as retiradas como independentes, mantendo o total de meias e a quantidade de meias pretas inalterados após a primeira retirada.
tomada_decisao
cotidiano
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