Lança-se um par de dados justos e independentes. Seja A = 'a soma dos valores é par' e B = 'o primeiro dado…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Lança-se um par de dados justos e independentes. Seja A = 'a soma dos valores é par' e B = 'o primeiro dado mostra 4'. Determine se A e B são eventos independentes. Calcule P(A), P(B) e P(AnB).
- A) A e B são independentes, mas P(A) = 1/6 e P(B) = 1/3.
- B) A e B são independentes. P(A)=1/2, P(B)=1/6, P(AnB)=1/12, e P(AnB)=P(A)·P(B).
- C) A e B são dependentes, P(A) = 1/3.
- D) P(A) = 1/2, P(B) = 1/6, P(AnB) = 1/10.
- E) P(A) = 1/4, P(B) = 1/5, P(AnB) = 1/20.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- O espaço amostral tem 36 resultados, pois cada dado tem 6 faces e os dados são independentes (6 x 6 = 36). Passo 2: Calculando P(A). A soma de dois dados é par quando os dois valores têm a mesma paridade: ambos pares (3 x 3 = 9 casos) ou ambos ímpares (3 x 3 = 9 casos). Logo, há 18 casos favoráveis e P(A) = 18/36 = 1/2. Passo 3: Calculando P(B). O primeiro dado mostra 4 em 6 resultados (4 combinado com cada uma das 6 faces do segundo dado), então P(B) = 6/36 = 1/6. Passo 4: Calculando P(A ∩ B). Queremos o primeiro dado igual a 4 e a soma par. Como 4 é par, o segundo dado também precisa ser par: 2, 4 ou 6. Há 3 casos, então P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12. Passo 5: Verificando a independência. P(A) x P(B) = (1/2) x (1/6) = 1/12 = P(A ∩ B). Como a igualdade vale, A e B são independentes, o que confirma a alternativa B. Passo 6: Por que as outras estão erradas. A: afirma P(A) = 1/6 e P(B) = 1/3, valores que não correspondem à contagem de 36 resultados. C: afirma dependência, mas a conta mostra que a igualdade P(A ∩ B) = P(A) x P(B) se verifica. D: acerta P(A) e P(B), mas P(A ∩ B) = 1/10 não corresponde a nenhuma contagem possível em 36 resultados. E: os três valores estão errados (P(A) deveria ser 1/2, não 1/4).
💡 Dica: Calcule as probabilidades no espaço amostral dos 36 pares ordenados e verifique se P(A∩B)=P(A)·P(B).
Alternativa por alternativa
O aluno acredita que P(A) = 1/6 porque a soma par parece depender de apenas um dos seis valores, e calcula P(B) = 1/3 sem contar corretamente os 6 resultados em que o primeiro dado é 4. Ele conclui a independência sem conferir os cálculos.
Por que engana: Confundir a probabilidade de a soma ser par com a de um resultado específico ou supor dependência apenas porque os eventos compartilham o resultado do primeiro dado.
P(A)=18/36=1/2 (metades das somas são pares). P(B)=6/36=1/6 (primeiro dado=4 implica 6 pares possíveis). P(AnB)=3/36=1/12 (primeiro=4 e soma par ? segundo ? {2,4,6}). Como 1/12=(1/2)·(1/6), A e B são independentes.
O aluno acha que dois eventos que envolvem o mesmo lançamento de dois dados são automaticamente dependentes, e estima P(A) = 1/3 sem contar corretamente os casos favoráveis da soma par. Não testa a condição P(A ∩ B) = P(A) x P(B).
O aluno calcula corretamente P(A) = 1/2 e P(B) = 1/6, mas erra a interseção ao contar casos de forma aproximada ou ao usar um denominador inadequado. O valor 1/10 não é múltiplo de 1/36, o que indicaria a falta de conferência.
O aluno trata a soma par como se tivesse probabilidade de 1/4 e atribui a P(B) o valor 1/5, sem considerar que o espaço amostral tem 36 resultados igualmente prováveis. Ele não compreende como estimar probabilidades a partir da contagem de casos favoráveis.
Raio-X da questão
Independência de eventos probabilísticos
avaliacao
Espaço amostral de dois dados · Cálculo de probabilidade simples
Revise espaço amostral, probabilidades de eventos e o critério de independência entre eventos.
Confundir a probabilidade de a soma ser par com a de um resultado específico ou supor dependência apenas porque os eventos compartilham o resultado do primeiro dado.
tomada_decisao
abstrato
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